习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++L ；(2)2242468x x ++++⋅⋅⋅⋅L ；(3)35793579a a a a -+-+L ；解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；2．求下列级数的和：(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)1n ∞=∑；(3)23111555+++L；解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭L因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而11n S =-+-+-++-=-=+-L所以lim 1n n S →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦L从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+L L ；(3) ()23133222213333n n n--+-++-L L ；(4)15+++L L ；解：(1)1n S =+++=L从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭L从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1)()111n n n +∞=-∑； (2)1cos 2n n nx∞=∑； (3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n p n n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+L L L L当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+L L L L因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+L ，∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<L 成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n p n n n p n p n p n U U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<L L L于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<L 成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>L L L从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>L ，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++L L；(2)22212131112131n n +++++++++++L L(3)1πsin 3nn ∞=∑；(4)1n ∞=；(5)()1101nn a a ∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛，由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a ∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)213n n n ∞=∑； (2)1!31nn n ∞=+∑；(3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅L L ；(1)12!n n n n n ∞=⋅∑ 解：(1)23n nn U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散．(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4)lim n n n b b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，ba >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1-+L ； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑； (3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+L；(4)()21121!nn n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6)()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑L ．解：(1)()11n n U -=-，级数1nn U ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1limln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n nU U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭L 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑L 发散．记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭L ，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>L L L即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰L由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑L 收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]； (2)21n n x n∞=∑，x ∈[0,1]；(3)1sin 3n n nx ∞=∑，x ∈(-∞,+∞)； (4)1!nxn e n -∞=∑，|x |<5；(5)1n ∞=x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx nn ≤，x ∈[0,1]，而211n n∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵1sin 33n n nx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为5!!nnx ee n n -≤，x ∈(-5,5)，由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)531n≤，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关性，可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n nn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+=所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)21n n nx∞+=∑； (2)22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ；(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )；(4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；(7)f (x )=e x cos x ； (8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn xx n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n nnn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部，而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部．得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2)14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()f x =(x -1)的幂级数．解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<L L L所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!n f x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---L L L(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑L L L 16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：(1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭L L ，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-L L又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+L L L故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭L(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-L L∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.5arctan d x x x ⎰（误差不超过0.001）的近似值．解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+L L ，（-1≤x ≤1）故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x xx ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰L L L L而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈．因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnn n nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn nn∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散．(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛．(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛．19．若2lim n n n U →∞存在，证明：级数1nn U∞=∑收敛．证：∵2lim nn n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ，即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛．20．证明，若21nn U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1nn U n∞=∑绝对收敛．21．若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1)111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑；(3)()2112nn n x n ∞=-⋅∑解：(1)111limlim 11lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-==⋅+++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴13R ρ==，又当x =时，级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±，级数发散，故原级数的收敛半径3R =，收敛域(-3,3)．(2)111ππsin122limlim lim ππ2sin 22n n n n n n nnn a a ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠． 所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散，从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3．当x =-1时，级数变为()2111nn n ∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n∞=∑，收敛．因此原级数的收敛域为[-1,3]．23．将函数()0arctan d xtF t x t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n nn t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n n n x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)；(2)1n n n x∞=∑，x ∈(2,+∞)；(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113n n n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛．(2)当x >2时，有2n nn nx =<由1112lim 122n n n n n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1n n n x ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛．(3)∀x ∈R 有()()()22224322111n n n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛．25．求下列级数的和函数：(1)()211121n n n x n ∞-=--∑； (2)21021n n x n +∞=+∑； (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑；(4)()11nn x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021x S S x x +-=-，S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑， ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ （x ≠1） 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1 （∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭）综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩U26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰L L于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n xn ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰L所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰L所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤解：(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰L ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x xx x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰L L所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰L L ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰L L所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰L L故()()()22121π81cosπ221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()102cos πd n a f x n x x=⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f ff +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1sin πn n s x b n x∞==∑，-∞<x <+∞，其中()12sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭； (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰，()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰L所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x xn n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x xn n --+==++=-=⎰⎰⎰L而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211e d ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tlTh T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞，且3,22t ττ≠±±，…)37.设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x ，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式. 解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x ln l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换 解：()()()01e ed ed i x Ti xi xA F f t A t t i ωωωωω-+∞---∞-===⎰⎰39.求下列函数的傅里叶积分：(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩。