L x X x 0 L yY y 0 L z Z z 0 L t T t 0
Lux, y, z, t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和 时间的常微分方程,比如
u( x, t ) X ( x)T ຫໍສະໝຸດ t )Lux, t 0
L x X ( x) 0 LtT (t ) 0
（7）
这样空间函数 X ( x) 构成下列常微分方程的边值问题:
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则 X (0)T (t ) f ，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
深圳大学电子科学与技术学院
以下的任务：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
深圳大学电子科学与技术学院
§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意 初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2 2u u 2 a , 0 x L,t 0 2 2 x t u | x 0 0 , u | x L 0 , t 0 u | ( x) , u ( x) , 0 x L t 0 t t 0
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
深圳大学电子科学与技术学院
偏微分方程
定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
深圳大学电子科学与技术学院
基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u( x, y, z, t ) X ( x)Y ( y)Z ( z)T (t )
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u( x, t ) X ( x)T (t ) （4） 代入方程（1）：
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
d X ( x) d T (t ) 0 2 dx X ( x) dx a T (t )
泛定方程
(1) (2) (3)
边界条件
初始条件
深圳大学电子科学与技术学院
主导思想：
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
求出足够多的形式解
线性迭加这些足够多的形式解
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
boundary condition
definite solution problem 非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation Method of separation of variables:分离变量法
深圳大学电子科学与技术学院
物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。
(9) (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X ( x) A Bx
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0） 2. 0: 方程(9)的通解为
X ( x) A exp(kx) B exp(kx)
设k
(11)
（5） （6）
X ( x) 常数 X ( x)
两边对x求导数：
设这一常数为-，则
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X ( x)T (t ) a2 X ( x)T (t ) f ( x, t ) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
深圳大学电子科学与技术学院
将边界条件（2）代入形式解（4）：
X (0)T (t ) 0, X ( L)T (t ) 0,
由于 T (t ) 0,否则 u( x, t ) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X ( L) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
X (0) X ( L) 0 的非零解；
确定取何值时 ，方程
——本征值
求出这个非零解 X ( x )
本征值 问题
本征函数
深圳大学电子科学与技术学院
下面求解边值问题：
X ( x) X ( x) 0 X (0) X ( L) 0
使之满足初始条件
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
深圳大学电子科学与技术学院
启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
线性组合这些足够多的形式解
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
深圳大学电子科学与技术学院
definite condition 定解条件 initial condition