23 8
2叫做8的立方根
引入新课
?4 81
?5 32
要求：用语言描述式子的含义
3 称为81的四次方根
2 称为-32的五次方根
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数 填空:
(1)25的平方根等于____2_5_____5_______
会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生
物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
t
P
1
5730
(*)
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t 年后，体内的碳14含量P的值。
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
❖ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
5、a , b ，R 下列各式总能成立的是（B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2 C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
❖6.x取何值时，下列式子有意义。
1
2
1
(1)4 1 x, (2)( x 1) 3 , (3)( x 1)3 , (4)x 2
练习①计算 3 (8)3 4 ( 3 2)4 3 (2 3)3
❖
②若
a2 2a 1 a 1, 求a的取值范围
❖
③已知
(x a)2 ( b x)2 b a
❖
则b __ a (填大于、小于或等于)
❖
④已知 x a3 b2，求 4 x2 2a3x a6 的值
(2)27的立方根等于__3__2_7_____3_______ (3)-32的五次方根等于5___32____2________ (4)16的四次方根等于__4_1_6____2______ (5)a6的三次方根等于__3_a_6__a_2________ (6)0的七次方根等于___7_0___0____
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
210 ____3_2___ 3 312 ___8_1___
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
2、当
n
是偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值：
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是
2、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
3xy 2 6
4、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4 32 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？ Nhomakorabea得出结论
3 3 27 2 3 8
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
2 5 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发 表的《未来20年我国发展前景分析》判断， 未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平 均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14
根．
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
只有一个，记为 x n a ．
得出结论
22 4 32 9
2 4 16
2 4 3 9
2 4 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n为偶数时，正数的 nn次方根有两个， 它们互为相反数．正数aa的正nn次方根用符号 n 表a 示；负的 n次方根用符号 n a表示，它们可以合并
写成 n a (a 0)的形式． 负数没有偶次方
练习：判断下列说法是否正确： （1）－2是16的四次方根； （2）正数的n次方根有两个；
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n a n a(a 0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
❖ 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
❖ 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1
5
;
16
3 4
2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a