班级第七讲函数的奇偶性与周期性姓名考号日期得分、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.1 .定义在R上的函数 f(x)满足:f(x) f(x+ 2) = 13, f(1) = 2，则f(99)=( )州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意 a 共R，总有f( a+ 3)— [f( a + f( 3)]=精选考题，则下列说法正确的是( )A . f(x) — 1是奇函数 B. f(x) + 1是奇函数C. f(x) —精选考题是奇函数 D . f(x) +精选考题是奇函数①若 A n B= {a}，则 f(a) = a;②若B不是单元集，则满足f[ f(x)] = f(x)的x值可能不存在；③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数.其中，正确命题的序号为__________ .10.对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为 _____________ .①若f(x)是奇函数，则f(x— 1)的图象关于点A(1,0)对称；②若对x€ R，有f(x+ 1) = f(x— 1)，则y= f(x)的图象关于直线x= 1对称;③若函数f(x— 1)的图象关于直线x = 1对称，则f(x)为偶函数；④函数y = f(1十x)与函数y = f(1— x)的图象关于直线x= 1对称.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤. )—2x 十 b11.已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.2x十1十a(1)求a、b的值；⑵若对任意的t€ R，不等式f(t2— 2t) + f(2t2— k)<0恒成立，求k的取值范围.3 .设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x€ (0,1)时，f(x)= log(1 — x)，则函数 f(x)在(1,2)上( A .是增函数，且f(x)<0 C .是减函数，且f(x)<0 )B .是增函数，且f(x)>0 D .是减函数，且f(x)>04 •设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x) = f 的所有x之和为( )x十4C.— 8D. 85 .已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 5,A .是增函数且最小值为— 5B .是增函数且最大值为—C .是减函数且最小值为- 5D .是减函数且最大值为-那么函数f(x)在区间[—7，— 3]上(6.(精选考题新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)= x3— 8(x> 0),则{x|f(x— 2)>0}=( )A . {x|x<— 2或x>4}B . {x|x<0或x>4} C. {x|x<0或x>6} D. {x|x< — 2或x>2}二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.7.(精选考题江苏)设函数f(x) = x(e x + ae—x)(x€ R)是偶函数，则实数a的值为8.已知函数f(x+ 1)是奇函数,f(x — 1)是偶函数，且f(0) = 2,则f(4)=12.，求证：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意的实数x, y,都有f(x+ y) = f(x) + f(y)，当x> 0时，f(x) v 0 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(— s,+s )上是减函数.13•设函数f(x)的定义域关于原点对称, 且满足 ① f(x i —X 2)=f(x1)f(x2) +1f(x2) —f(x1) ②存在正常数a ，使f(a)= 1. 求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.参考答案：1 解析：由 f(x)f(x+ 2) = 13,知 f(x+ 2) f(x+ 4) = 13,所以 f(x+ 4) = f(x)，即 f(x)是周期答案：C 2解析：依题意，取a= 3= 0，得f(0)= 一精选考题；取a= x, 3=—X,得f(0) — f(x)— f( —乂)=精选考题，f( — x) +精选考题=—［f(x) — f(0)］ = —［f(x) +精选考题］，因此函数f(x)+精选考题是奇函数，选答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间［3,7］上的示意图，由图形易得结论.D.答案：D3 解析：由题意得当x€ (1,2)时，0<2 — x<1,0<x— 1<1, f(x) = f(— x)= f(2 — x)= log」［1 —(2 — x)］ = log12 2 (x— 1)>0，则可知当x€ (1,2)时，f(x)是减函数，选 D.答案：DG 亠 34解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)= f x^-,X + 4/ x -k 3 x + 3只有两种情况：① x= 一3:②X+—3= 0.x + 4x+4由①知x2 + 3x — 3 = 0,故两根之和为 X1+ X2=— 3. 由②知x + 5x + 3 = 0,故其两根之和为 X3+ X4 = — 5. 因此满足条件的所有 x之和为一8.答案：C5解析：vf(x)为奇函数，• f(x)的图象关于原点对称.函数，周期为4•所以 f(99) = f(3 + 4 X 24)= f(3)=13 =f(1)=•由图可知函数f(x)在［—7,— 3］上有最大值一5.•••f(x )在［3,7］上的最小值为5,6解析：当x<0时，一x>0,3 3•'•f(— x)= (— x) — 8 = — x — 8,又f(x)是偶函数，•' f (x) = f( — x) = — x‘ — 8,]x3 — 8, x>0•'•f(x)=.[—x3 — 8, x<0lx — 2)3 — 8, x> 2•■-f(X— 2)= — (x — 2)3 — 8, x<2 ,x > 2 |x<2I ^或(x — 2)3 — 8>0 — (X — 2)3 — 8>0 '解得x>4或x<0.故选B.答案：B7解析：设g(x) = x , h(x) = e x + ae一x ,因为函数g(x)= x是奇函数，则由题意知，函数 h(x) = e x + ae一x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R, A h(0) = 0，解得a=— 1.答案：—18解析：依题意有 f( — x+ 1) =— f(x+ 1), f( — x— 1) = f(x— 1)，所以 f(4) = f(— (— 3) + 1) = — f( — 2)=—f(— 1 — 1) = — f(0) = — 2.答案：—29解析：女口 f(x)= x+ 1, A= [ — 1,0], B = [0,1]满足 A Q B= {0}，但 f(0)工0,且满足 f[f(x)] =f(x)的 x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)= 1 , A = R, B= {1}，贝U f(x) = 1 , A = R是偶函数，③正确；如•(x)在［3,7］上是增函数,f(x)= x— 2k+ 1, A = [2k- 1,2k], B = [0,1], k€ Z, f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误. 答案：②③10解析：f(x — 1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x— 1)的图象关于点 A(1,0)对称，故①正确；由f(x+ 1)= f(x— 1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f(x— 1)的图象关于直线x= 1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；y= f(1 + x)的图象是由y= f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y= f(1 — x)是由y= f(x)的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误. 答案：①③11分析：(1)由f(0) = 0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a; (2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f,然后用判别式解决恒成立问题. 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(0) = 0,b — 1即b1= 0? b = 1, a+ 21 — 2x所以f(x)= a Z—"不，又由 f(1) = —f(— 1)1 —2 a+ 4 a+ 1a =2.1 — 2x(2)由(1)知 f(x) = 2 + 2x+ 11 1=_ _+2 2x + 1'f(x2)f(x1) + 1 f(—x)=f(X2—X1)= f(x1) —f(x2)_ f(x1)f(x2) + 1 _ 仃、=—f(x2) — f(x1) =—f(X1 —X2) =—f(x) . Af(x)是奇函数.⑵要证 f(x + 4a) =f(x),可先计算 f(x+ a), f(x+ 2a),易知f(x)在(— 8,+^ )上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式：2 2f(t — 2t) + f(2t — k)<0 等价于■-■f(x+ a) = f[x—(— a)]=f( — a)f(x)+ 1f( — a)—f(x)—f(a)f(x) +1—f(a) —f(x)f(x) —1f(x) +1(f(a) =1).2 2 2f(t — 2t)< — f(2t — k)= f(k— 2t ),因f(x)为减函数，由上式推得：t2— 2t>k— 2t2,即对t€ R有：3t2— 2t — k>0,从而△= 4+ 12k<0? k<—g.12 证明：(1)令 x= y= 0, 得 f(0) = f(0) + f(0),•••f(0) = 0.再令 y= — x,得 f(0) = f(x) + f(— x),• f(— x)= — f(x),「.f(x)为奇函数.(2)设 X1、X2€ ( —rn,+m )且 X1< X2，贝U x2—X1 >0,■/当 X> 0 时，f(x)v 0 ,「.f(X2— X1)V 0.又T对于任意的实数x, y都有f(x + y)= f(x) + f(y)且f(x)为奇函数,•'•f(X2— X1)= f[X2 + ( — X1)] = f(X2)+ f( — X1)= f(X2)—f(X1).• ••f(x)在(— 8,+8 )上是减函数13证明：(1)不妨令X= X1 — X2，则•••f(x+ 2a) = f[(x+ a)+ a]f(xl^1 -f(x + a)— 1 f(x) + 1 1.=f(x + a)+ 1= f(x) — 1_| [=— f(x)f(x) + 1 十1.•.f(x+ 4a) = f[(x+ 2a)+ 2a] = —f(x + 2a)= f(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数.。