任意角的三角函数
一、教学内容分析：
新知识的发生是可能的，自然的。
三、设计思想
五、教学重点和难点：
1.教学重点：任意角三角函数的定义.
2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 六、教学过程
第一部分——情景引入
问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），
过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？
【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。
图1
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？” 【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM 。
要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。
问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到
R
MP OP MP |
|||||sin =
=
α⇒αsin ||R MP =⇒αsin ||0R h PH +=
⇒h αsin 0R h +=
所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h 为多少？”
00130sin R h h += 00245sin R h h +=
【教师总结】：0t 在锐角的范围中，0
0sin t R h h += 第三部分——引入新课
问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想
00sin t R h h +=？
【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。
今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。
问题4：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？ 【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到
|
|||sin OP MP =
αR y P = 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天
H
图2
轮座舱在第150秒时，离地面的高度h ？
通过摩天轮知道：=+=0
0150sin R h h 0
0130sin R h h += 由此得到：2
1150sin 0=
【设计意图】：通过这个，让学生检验|
|||sin OP MP =
αR y P
=在第二象限角是否正确？ 问题5：|
||
|sin OP MP =
α在第三象限角或第四象限能成立吗？ 【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。
（可以让学生取210=t ，从而,210sin 0
0R h h +=得到0210sin ＝2
1
-
，发现这与||||sin OP MP =
α不相符，实际上是|
||
|sin OP MP -=α） 【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型0
0sin t R h h +=来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P 的横坐标来代替||MP 或||MP -，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。
第四部分——给出任意角三角函数的定义
1.如图3,已知点),(y x P 为角α终边上的点，点P 到顶点O 的距离为R ，则
R y
=
αsin （R ∈α） R x
=αcos （R ∈α）
x y =αtan （ππ
αk +≠2
）
【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；
（3）y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y
x x
α=≠.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.给出下列表格，让学生自己补充完整。
三角函数
定义一：1||=OP
定义二：R OP =||
定义域
αsin
y
R y R ∈α αcos
x
R x R ∈α
αtan
x
y
x
y ππ
αk +≠
2
及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。
第五部分——例题讲解
例1.（课本P12例2）已知角α终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。
例2.（课本P12例1）求
3
5π
的正弦、余弦和正切值。
【学生自主探究】： 让学生自己思考并独立完成。
然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。
【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难
点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P ，如图4可以知道3
π
=
∠POM ，又点P 在第四象限，得
到)2
3
,21(-
P ，这样就可以很容易得到本题答案。
不妨让学生取4||==OP R ，能否也得到点P 的坐标，
得到的三角函数值是否与单位圆的一样。
这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。
第四部分——巩固练习
练习1.例2变式求
6
7
的正弦、余弦和正切值。
练习2.通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P13的“探究”。
【设计意图】：练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。
并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。
第五部分——小结与作业 学生自我总结
作业：P20习题1.2A 组 1,2,3
七、教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1. 教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。
背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。
2. 情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。
3. 通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
这和课程标准的理念是一致的。