C语言实验报告求定积分班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟学号**********1. 描述问题利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。

2. 分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。

即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。

如下图：（图1）设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。

将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。

设1i i i x x x -∆=-，取区间i x ∆中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式：()1lim n n i f i xi ξ→+∞=⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。

当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。

记作：()ba f x dx ⎰其中称a 为积分下限，b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

21.2定积分的几何意义[1]它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。

在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。

如图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为()f x ，积分区间为[],a b ，把区间[],a b 等分成n 个小区间，各个区间的长度为h ，即()/h b a n =-，称之为“步长”。

根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。

将积分区间n 等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，n 越大，所得结果越精确。

以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。

复合梯形公式：()()()1122n n i i h T f a f x f b -=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑[2]具体算法如下：算法一1：输入积分区间的端点值a 和b ；2：输入区间的等分个数n （要求n 尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：计算步长()/h b a n =-；4：对累加和赋初值()/2a b T f f =-； 5：计算累加和()11n i i T f x -==∑6：算出积分值n T T h =⨯； 7：输出积分近似值n T ，完毕。

1.2.2利用Smpson 公式实现定积分的计算假设被积函数为()f x ，积分区间为[],a b ，把区间[],a b 等分成n 个小区间，各个区间的长度为h 。

在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。

作为一种外推算法， 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

具体算法如下：算法二1：输入积分上限b 和下限a ；2：输入区间的等分个数n （要求n 尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：利用辛甫生公式：[][][]()42/3S n T n T n =⨯-[2]，实现对定积分的求解（其中[]2T n均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式T n，[]为基础的）；；4：算出积分值Sn5：输出积分近似值S，完毕。

n1.2.3利用Guass公式实现定积分计算Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。

他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。

高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。

通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

算法三1：输入积分上限b和下限a；2：利用Guass公式，求定积分4：算出积分值S；n，完毕。

5：输出积分近似值Sn3.程序的编写3.1程序一（左矩形公式）3.1.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a)*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+f(a+i*h)*h;}printf("函数f(x) 的积分值为s=%10.6f\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}3.1.2程序一的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.2程序二（中矩形公式）3.2.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数f(x) 的积分值为s=%10.6f\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}3.2.2程序二的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.3程序三（右矩形公式）3.3.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;i<n-1;i++){s=s+f(a+(i+1*h))*h;}printf("函数f(x) 的积分值为s=%10.6f\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}3.3.2程序三的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.4程序四（梯形公式）3.4.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数f(x) 的积分值为s=%10.6f\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}3.4.2程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.5程序五（Simpson公式）3.5.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double T(double x,double y,int z); double a,b,s;int n;printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n :\n");scanf("%d",&n);s=(4*T(a,b,2*n)-T(a,b,n))/3;/*利用辛甫生公式求解定积分*/printf("函数f(x) 的积分值为s=%f\n",s); }/*以下为复合梯形公式的定义*/double T(double x,double y,int z) {double h,Tn;int i;double f(double t);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y))/2;for(i=1;i<z;i++)Tn=Tn+f(x+i*h);Tn=Tn*h;return (Tn);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double t){double s;s=sqrt(4-t*t);return (s);}3.5.2程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.6程序六（Guass公式）3.6.1源程序#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3float gass_integral(float (*)(float),float,float,int);void main(){float function_name(float);float a,b;printf("请输入积分上限b\n");scanf("%f",&b);printf("请输入积分下限a\n");scanf("%f",&a);float ans;ans=gass_integral(function_name,a,b,N);printf("ans=%f",ans);}//高斯求积：代数精度为2n-1. -1---+1 之间float gass_integral(float (*func)(float x), float a,float b ,int n ) {//高斯点及其求积系数列表-------------------------------------------------------------------------------------------float x1[1]={0.0}; float A1[1]={2};float x2[2]={-0.5573503,0.5573503}; float A2[2]={1,1};float x3[3]={-0.7745967,0.0,0.7745967}; float A3[3]={0.555556,0.888889,0.555556};float x4[4]={0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363};float A4[4]={0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548}; float x5[5]={0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799}; floatA5[5]={0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269};//----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------float * p,* t;switch ( n){case 1 : p=x1;t=A1;break;case 2 : p=x2;t=A2;break;case 3 : p=x3;t=A3;break;case 4 : p=x4;t=A4;break;case 5 : p=x5;t=A5;break;default : printf("intput wrong!");}float g=0;for(int i=0;i<n;i++){g+=(*func)((b-a)*p[i]/2+(a+b)/2)*t[i];}g*=(b-a)/2;return g;}float function_name(float x){return (sqrt(4-x*x));}3.6.2程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入2+回车输入0+回车4误差分析手工计算结果为：3.156173.，左矩形公式误差：0.39%，中矩形公式误差：0.46%，右矩形公式误差：0.52%，梯形公式误差：0.46%，辛普森公式和高斯公式误差几乎等于0，六个程序运行结果对比，在计算相同的函数f(x)=sqrt(4-x*x)的定积分，Simpson公式和Guass公式比矩形和梯形公式更可行，更有效。