想一想：
k 一次函数 y kx b 和反比列函数 y 中 k (k 0) x
的取值对函数单调性的影响？
1.观察 f ( x) x 和
2
8 6
f ( x) x 的图像：
3
二.奇偶性
20 10
函数的性质
4
3
2
1 10
1
2
2
20
3 2 1
1 2 3
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期

3l 2

l 2
l 2
3l 2
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
y
2
o 2 x
周期为
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 .
五、复合函数
1.【复合函数】
设 y u, u 1 x 2 ,
(1)【定义】 设有函数链
称函数 f ( x ) 在 X 上有上界 ( K1是其中的一个 上界 )
若K 2 , 使得
f ( x) K2
称函数 f ( x ) 在 X 上有下界 ( K 2是其中的一个下界 ) 若数集X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M
则称函数 f (x)在X上有界.否则称无界.
例如 y arcsin u, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
y u,x u cot v , Nhomakorabeav . 2
三重复合函数
课堂小结
1、函数的单调性
2、函数的奇偶性 3、函数的有界性
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x) 是单调递增的 f ( x) 是单调递减的
简记：“同号增，异号减” (2)若函数 y f ( x) 在区间 (a, b)是单调递增(或递减)的 则称区间 (a, b) 为 f ( x) 的增区间（或减区间）
f (x) 在X上无界 M 0, x1 X , 使得 f ( x1 ) M
y M y=f(x) o x 有界 X o -M M y
x0
X 无界
x
-M
【结论】
f ( x )在X上有界

f ( x )在X上既有上界又有下 界
四.函数的周期性
【定义】 x D , l 0 , 且 x l D, 若
f ( x) 是偶函数 f ( x) 是奇函数
函数的性质
例4 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) 2x 1
2
(2) f ( x) x
2 2
解:(1)
xR
f (x) 2( x) 1 2x 1 f ( x) f ( x) 2x 1 是偶函数
2
(2)由于 f ( x) x 的定义域为 不关于原点对称， 故
函数的性质
(3)在图像上，从左往右看，增函数的图像是上升的， 减函数的图像是下降的 例3 已知函数 y f ( x) 的图像，试写出它的增减区间
y
1
o
1

2

3 2
2
x
3 解:从图像上看，增区间为 (0, ),( ,2 ) 2 2 3 减区间为 ( , ) 2 2
函数的性质
4、函数的周期性
5、复合函数
y 1 x2
①
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
则
②
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
(2)【注意】 1）构成复合函数的条件 g ( D ) D 1 不可少. （即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
函数的几种特性和 复合函数
函数的性质
一.函数的单调性
1.问题的引入
观察某地一日气温变化图，考虑哪几部分气温是 上升的，哪几部分是下降的？
T / C
12
10 8
6
4
2
o
2
4
8
12
16
20
24
t/h
函数的性质
2.定义
(1)设函数 y f ( x) 在区间 (a, b)有意义，对任意的
x1, x2 (a, b) ，当 x1 x2 时，
， x [0, )
f ( x) x
是非奇非偶函数
函数的性质
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x x x
3
5
1 (2) f ( x) 2 x
(3) f ( x) 2x 3x 1
2
三.函数的有界性
【定义】 若数集X D, K1 , x X , 有 f ( x ) K 1
关于y轴对称
关于原点对称
f ( x) f ( x) f ( x)是偶函数
f ( x) f ( x) f ( x)是奇函数
函数的性质
2.定义 设 y f ( x) 的定义域关于原点对称，对于定义域内 的每一点x,若
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x)