个事件的概率的途径又多了一条。其实全概率公式精华之处并不在其本身，而
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多 了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事 特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不 概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关 考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上 有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了， 我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说 的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定 义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个 大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试 验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间， 位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因 而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就 是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？
4. 样本空间、样本点：随机事件 E 的所有可能的结果组成的集合称之为 E 的样本 空间，样本空间里面的每一个点称之为样本点。
5. 事件的关系与运算：包含与相等，和与并，积与交，事件的差，事件互不相容， 对立事件（逆事件），交换律，结合律，分配律，吸收律，对偶公式（德摩根律）， 文氏图，完备事件组。
画龙点睛： 1. 当我们面对一个概率问题时，往往是一大串文字组成的一个应用题，首先要 做的是将实际问题数学语言化，能否用简明的符号和运算准确的反映题目意 思，说明问题是重要的前期准备工作。 2. 对于简单的填空选择题目，采用直观的文氏图或者构造例子举出反例，往往 能事半功倍。 3. 实际问题符号化虽然基础简单，但是及其重要，这种能力将伴随着你整个概 率论课程，勤加练习是很重要的。 4. 不仅仅要有实际问题符号化的能力，还有符号式子通俗化的本领，也就是看
6. 二项分布{ X B(n, p) }：二项分布即重复 n 次独立的伯努利试验。在每次试验中只 有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次 试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列
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试验总称为 n 重伯努利实验，当试验次数为 1 时，二项分布就是伯努利分布。
2. 随机试验：很多孩子把随机事件与随机试验混为一谈，认为这是一个概念的两 个说法罢了，这么想就大错特错了。事实上试验是比事件更宏观的一个概念， 一个试验往往是包含很多个事件的。
3. 随机试验的特点：相同条件下可以重复做（也就是这个实验一定是无论什么时 间，什么地点，以及无论谁都可以做的）；试验结果可能不止一个，但试验前可 以明确知道所有可能的结果；结果不可以预言。
5. 0-1 分布（伯努利分布）：我们很容易知道，对于分布列这个家伙，要长可以是一个 无限长的表格（X 从 x1 一直可以慢慢取到 xn（n 很大很大）去），要短也可以短的可 怜（随机变量 X 的取值就两个 x1 和 x2）。对于那些不仅离散，且取值特别多的家伙 研究起来也没什么意思。现实生活中有许多事情的结果只有两个：新生儿的性别， 投篮中与不中，抛硬币，产品合格与否。数学家们干脆就把这种特殊的分布拿出来， 称之为 0-1 分布，0 和 1 仅仅是两个代号，表示情况 0 与情况 1。
7.
泊松分布{ X
π() }：设随机变量 X
的分布律为 P( X
k)
k e k!
，
0，
k 0,1,2 ，则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者 P( )。
一般的说，若 X B(n, p) ,其中 n 很大，当 np 不太大时，X 的分布接近于泊
松分布 P() 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。当
2. 随机变量的规范定义：设 E 是一个随机试验，其样本空间为 S，若对每一个样本点
e S ，都有唯一确定的实数 X(e)与之对应，则称 S 上的实值函数 X(e)是一个随机变
量（简记为 X），一般用大写字母 X，Y，Z„或希腊字母ξ，η，ξ„来表示随机变量。
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很多同学看完这个概念就纳闷了，感觉从“每一个”，“唯一确定”，“对应”这些字 眼完全感受不到这是在定义“随机变量”，倒像是在定义“确定变量”，这并不矛盾， 随机并不意味着未知，所谓的随机是在一堆已知确定的结果中你不清楚到底会发生 哪一个。
15. 样本空间的划分（完备事件组）：学会分类是很重要的，我们在处理复杂问题的
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很容易想到的就是去把模糊的背景分类细化成清晰的模块。同样在解决较为复 杂的概率问题时，能够将所涉及的复杂事件分解为简单事件之和，且这种分解 是符合数学逻辑的，能为处理概率论问题带来方便。于是有了样本空间的划分 这一概念。划分出来的事件有如下特性：并集是原事件，两两交集为空集。
n 充分大时，泊松分布是二项分布的近似分布；但只有当 p 的值很小(p 小于 0.1 )时，
用泊松分布取代二项分布所产生的误差才较小。泊松分布生活中的实例还人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台
的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显
9. 概率公理化定义的注解：数学上所说的“公理”就是一些不加证明而承认的前 提，这个公理化定理只是界定了概率这个概念所必须满足的一些性质，它并不 解决具体场合下的概率计算问题，但是我们常常可以用它来判断某事件函数 P 是否是概率。
10. 概率的加法公式：P( A B) P( A) P(B) P( A B) 。这个公式重要的并不
3. 随机变量的分类：离散性随机变量与连续型随机变量。通俗的说，让你在 1，2，3， 4，5，6 中间挑选一个数字，你的挑选结果无非就是这 6 个里面的某一个(离散型)； 假如让你从 1-6 之间选择一个实数，你的挑选结果就可能是无数种了（连续型）。
4. 离散型随机变量相关概念：分布列（写分布列这个简单的不能再简单了，高中最喜 欢做的数学大题），分布列的性质（概率之和为 1 呗）。
14. 乘法定理：聪明的孩子立刻会发现这个公式不就是条件概率公式的简单变形 吗？没错，但是教材把它拿出来可绝对不是在给你复习小学数学中的移项问题， 编者是在向你灌输一种思想，A 与 B 同时发生的概率等同于 B 在 A 先发生了的 条件下发生的概率，等同于 A 在 B 先发生了的条件下发生的概率。更重要的是 这种思想容易递推，因而课本上那个有 n 个事件的公式也很容易瞬间写出了， 不信你写写看！值得注意的是，概率论中每出现了一个新的公式，你都要学会 试着将这个公式和之前学过的公式联立起来，渐渐你会发现随着学的东西多了， 很多量的求解途径一下宽广了许多了。【注】：事情的发生往往先后顺序明显时 用此公式。
我屁事），则称事件 A 与 B 相互独立。 选择题目居多，易错题。
充要条件：
20. 伯努利概型：我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发生 或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；每次试验 是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这 种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的 概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k ) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现
备注：要注意 P(AB)与 P(B｜A)的区别： P(AB)是在样本空间为Ω时，A 与 B 同时发生的可能性，而 P(B｜A)则是表示在 A 已经发生的条件下，B 发生的可能性，此时样本空间已由Ω缩减为 A，只要题
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目中有前提条件：“在 A 发生的条件下”或“已知 A 发生”等等，均要考虑条 件概率．
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见一个复杂的事件关系表达式时候，要能迅速反映出它表达了什么含义。
第二章随机变量与分布
走进这一章，才算是真正地踏入了美丽的概率论花园，可花园虽美，但荆棘丛 生。 我们来看看这一章都有些什么荆棘等着我们吧！ 1. 趣话随机变量：大家翻翻书前的目录，不难知道“随机变量”将伴随着我们整个概
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12. 概率的古典定义与几何定义：这两者的区别大致可以用样本数量是有限还是无 穷来区分，值得注意的是，几何定义派生出了考试经典陷阱：概率为 0 的事件 不一定是不可能事件，概率为 1 的事件不一定是必然事件。
13. 条 件 概 率 ： 在 事 件 B 已 经 发 生 的 条 件 下 ， 求 事 件 A 发 生 的 概 率 ， 记 为: P(B A) P( AB) 。条件概率的几个性质尤其注意：非负性；规范性；可列 P( A) 可加性。看到这三个性质，想到什么了吗？没错就是概率的公理化定义，条件 概率符合这三个条件，因而概率的性质完全适用于条件概率，条件概率无非就 像是一个装了一个极具个性的手机壳的手机罢了。