任意性问题和存在性问题的讨论
全称量词和特称量词频频出现在我们的考试卷中，尤其常插足于函数相关的综合问题中，使得题目更有新意之余也增加了不小的难度。

下面我们一起来揭开这两者的神秘面纱，来看看他们的真面目。

教材释义：
全程量词：，表示整体或全部，所有的，任意一个。

特称量词：，表示整体的一部分，存在一个，至少有一个。

那么，在考题中，这两个连词都是以什么形式出现的呢？我们一起来看一下；
常见模型及结论展示：
(1)任意性问题（恒成立问题）；
1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；
2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max<A.
3. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0∴F(x)min>0
4. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) ﹤0∴F(x) max﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x) max< g(x) min
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) max>A；
2. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min<A
3. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴F(x) max>0
4. ∃x0∈D,使得f(x0) <g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)∴F(x) min<0
5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max> g(x) min
6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x) min< g(x) max
(3)任意性与存在性的综合性问题
1. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min
2. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x) max< g(x) max
(4)相等问题
1. ∀x 1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}
2. ∃x 1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}
考题展示：
考1：设函数,
（1）如果存在,使得成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对任意的s、t,都有成立，求实数的范围。

分析：
问题（1），存在性问题，左边右边，只需要左边有大于等于右边的点即可，由数轴分析可得只需要最大值右边即可。

问题（2），双任意性问题，不等号两边是不同的函数不同的变量，由数轴分析可得：只需即可。

注意：虽然我们可以分别对两边求最值来求解，但是由于参数的存在为我们直接求的最值带来麻烦，我们可以先求右侧最值，然后考虑分离参数的方法来求解。

解：（1）,令则
由单调性可知，
,
可取的最大整数为4.
（2）
由（1）可知，
即可。

设
代入得，
由单调性分析可得，在上单调递减。

考2: 已知函数和函数
，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
分析：本题从问题看，研究的是两个函数相等的问题，初步考虑数形
结合。

分段函数看似复杂，其实都是我们很常见的函数模型，通过研究单调性，不难画出其图像，而在定义域内也是单调的，看来我们考虑数形结合是可行的思路。

解析：
则函数单调递增。

那么的图像可以
确定，如图：
在定义域内单调递增，所以有：
,
由题意只需满足的值域有交集即可。

在图像上可以分析为，如
图：
则不等式可列为：,
总结与反思：
首先，利用集合与移动的思想来分析每一道存在性和任意性问题是最实用且不容易出错的方法，希望大家课下多做这方面的练习，而不是机械地记忆我们上面列举的结论。

其次，我们之所以大篇幅去讲方法、讲思路就是希望大家可以做到具体问题具体分析，而不是盲目套用结论。

高中数学题目千变万化但又不离其纲，大家要善于总结归纳。

课外拓展：
为了让同学们更为了解全程量词和特称量词，请认真完成下列练习题。

1、若有且只有一解，则实数的值为 .
2、（1）不等式，求的取值范围.
（2）若不等式对都成立，求实数的取值范围．
3、设函数，若，对任意的，总存在，使得不等式成立，求m的最大值。