当 时，甲以4﹕3赢，所以 .
所以，甲赢的概率为 .
所以，甲应分得的赌注为 元.…………………（6分）
（2）设赌博继续进行 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢.
当 时，乙以以4﹕2赢， ；
当 时，乙以以4﹕3赢， ；
所以，乙赢得全部赌注的概率为 .
于是甲赢得全部赌注的概率 .
求导， .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
当 时， 单调递减.
在 处有极小值，在 处有极大值．
综上所述，当 时， 没有极值点；当 时， 有2个极值点．………（6分）
（2）由（1）可知当且仅当 时 有极小值 和极大值 ， .
先证： .
由 ，得 ，即 .
下证 ，即证 （以下略）
所以 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 时， 单调递增，所以 ，
所以 .
武昌区2021届高三年级1月质量检测
数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
D
D
C
B
二、选择题：
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABCD
ABD
ABD
三、填空题：
13. 60 14. 15.516.
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）若选①： ，则由正弦定理得
，即 ，
∵ ，∴ ，则 ．…………………（4分）
解得 的坐标为 .
在 轴上取点 ，则 ， ，
所以 .
当 时， .
所以，以 为直径的圆过 轴上的定点为 .…………………（12分）
21．（12分）
解：（1）设赌博再继续进行 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注.
当 时，甲以4﹕1赢，所以 ；
当 时，甲以4﹕2赢，所以 ；
③求法向量正确，2分；④求余弦并给出结论正确，2分
20．（12分）
解：（1）由题可知 ，解得 ，由 得 ，
椭圆 的方程为 .…………………（4分）
（2）设 ，由于 是异于长轴顶点 的任意一点，故切线斜率存在.
设过 的椭圆的切线为 ，联立方程 ，
得 ， ，
结合 ，解得过 点的切线方程为 .
由于分别过 的切线分别为 ，
因为 单调递减，只需证 .
又因为 ，只需证 ，即证 .
令 ， .
因为 ， ，
所以 在 上单调递增， .
所以 ，因此， .
再证： .
设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，故 在 上单调递增.
又 ，所以 时， ， 在 上单调递减.
所以 时， .
所以 .……………（12分）
另法：
(1)证明： .
当 时, 有2个极值点 ，且满足 .
因为 ，所以 .
因为当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 为 内的最大值，即
（2）证明 ，只需证 .
(2)由(1)可知 ，其中
故 的前 项和
.…（12分）
19．（12分）
解：（1）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
， 为 中点， AE//BC，且AE=BC.
四边形ABCE为平行四边形， O为AC中点，
又F为AD中点， ，
，
//平面 .…………………（4分）
（2）方法一：（综合法）
由BCDE为正方形可得 .
于是 .
故乙赢的概率为 ，故事件 不是小概率事件.…（12分）
22．（12分）
解：（1） ， .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
当 时， 有极大值， .
当 时， ， 在 上单调递减，此时 无极值；
当 时， .
，
易证， 时， ，所以， ， ，
故存在 ，满足 ， .
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
若选②： ，则 ，
化简得 ，∴ ．…………………（4分）
若选③： ，则有 ，
化简得 ，所以 ，故 .…………………（4分）
（2）在 Байду номын сангаас， ，
所以，
.①
又 .②
由①②， 或 （舍）.
.…………………（10分）
18．（12分）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，由条件得 ，解得 .
故 .…………………（4分）
由ABCE为平行四边形可得 // .
为 ，即 .
.
侧面 底面 侧面 底面 平面 ，
， ， .…………………（8分）
取 中点 ，连 .
， ，
平面 ， 的平面角.
又 ， .
所以二面角 的余弦值为 ．…………………（8分）
方法二：（空间向量法）建议给分标准：
①建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；②利用线面角求出线段长正确，2分；