第 8 章 稳恒磁场习题及答案6. 如图所示，AB 、 CD 为长直导线， BC 为圆心在 O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。

若通以电流 I ，求 O 点的磁感应强度。

解： O 点磁场由 AB 、 BC 、 CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。

AB 在 O 点产生的磁感应强度为B 1 0BC 在 O 点产生的磁感应强度大小为B 20 I0 I3 0 I，方向垂直纸面向里4 R4 R12RCD 在 O 点产生的磁感应强度大小为B 3I(cos1cos 2 )4 r 00 I4R cos60 0(cos150cos180 )0 I3(1) ，方向垂直纸面向里2 R2故 B 0B 1 B 2B 30 I(13 ) ，方向垂直纸面向里22 R6A ，B 两点，并在很远处与电源相连。

已知7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。

解：圆心 O 点磁场由直电流A和 B及两段圆弧上电流 I 1 与 I 2 所产生，但 A 和 B 在 O 点产生的磁场为零。

且I 1 电阻R 2I 2电阻R 12I 1 产生的磁感应强度大小为B 10 I12）（4 R，方向垂直纸面向外I 2 产生的磁感应强度大小为B 2 0 I2，方向垂直纸面向里4 R所以，B 1 I 1 (2)1B 2I 2环中心 O 的磁感应强度为B 0B 1 B 28. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。

以 P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。

在载流平板上取 dIIdx ， dI 在 P 点产生的磁感应a强度大小为dB0dIIdx ，方向垂直纸面向里2 x 2 axP 点的磁感应强度大小为BdB0 Ib adx 0 Iln ba2 abx2 ab方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A ,B , 分别带有电量q 和 q ，相距为 d 。

它们都以角速度 绕轴 OO ' 转动，轴 OO ' 与 AB 连线相互垂直，其交点为 C ，距 A 点为d。

求 C 点的磁感应强度。

3解：q 电荷运动形成电流大小为q qI 12TI 1 在 C 点产生的磁感应强度大小为0 I10 I13 0qB 12 d / 34 d2R方向沿 O O 方向同理， q 电荷运动形成电流的电流I 2 在 C 点产生的磁感应强度大小为0 I23 0 qB 28d2 2d / 3方向沿 OO 的反方向所以， C 点的磁感应强度大小为B B 13qB 28 d方向沿 OO 方向B 2.0 Wb · m -2 的均匀磁场，方向沿 x 轴正方向，如图所示。

试求：10. 已知磁感应强度大小(1) 通过图中 abcd 面的磁通量； (2) 通过图中 befc 面的磁通量； (3) 通过图中 aefd 面的磁通量。

解：(1) 通过 abcd 面积 S 1 的磁通量为1B S 1 2.0 0.3 0.4cos 0.24 Wb(2) 通过 befc 面积 S 2 的磁通量为2B S 2 0(3) 通过 aefd 面积 S 3 的磁通量为3B S 32 0.3 0.5 cos2 0.34 0.24 Wb0.55 r 的金属小圆环，在初始时刻与一半径为 R （ Rr ）的金11．如图所示，真空中一半径为属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流 I ，如果小圆环以匀角速度绕其直径转动，求任一时刻 t 通过小圆环的磁通量 m 。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为B0 I，方向垂直纸面向外2R任一时刻 t 通过小圆环的磁通量为mB SB r 2 cos t12. 如图所示，电流 I 1 I 2I ，求沿回路 L 1 、 L 2 以及 L 3 的磁感应强度的环流。

解：由安培环路定理得B dl0 I10 IL 1B dl0 I20 IL 2B dl( I 1I 2 ) 0L 313. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱( 半径为 a ) 和一同轴的导体圆管 ( 内、外半径分别为 b , c ) 构成，横截面如图所示。

使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。

求： (1) 导体圆柱内 ( r ＜ a ) ； (2) 两导体之间 ( a ＜ r ＜ b ) ；（ 3）导体 圆筒内 ( b ＜ r ＜ c ) 以及 (4) 电缆外 ( r ＞ c ) 各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有B dlB 2 r0Ii(1) 当 ra 时， I iIr 2 ，所以a 2I r B2 a 2(2) 当 a rb 时， I iI ，所以B0 I2 rI(3) 当 brc 时， I iI( r 2 b 2 ) ，所以(c2b 2 )B0 I (c 2r 2 )2 r (c 2b 2)(4) 当 r c 时， I i0 ，所以B14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为 R 1 和 R 2 ，如图所示，它所载的电流I 1 均匀分布在其横截面上。

导体旁边有一绝缘 “无限长” 直导线， 载有电流 I 2 ，且在中部绕了一个半径为 R 的圆圈。

设导体管的轴线与长直导线平行，相距为 d ，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O 点处的磁感应强 度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过 O 点的圆周为回路，应用安培环路定理，有B dlB 1 2 (R d )0I0 I1i所以，长直载流导体圆管在O 点产生的磁感强度大小为I 1I 2B 1，方向垂直纸面向里O 2 R dR电流 I 2 的长直导线在 O 点产生的磁感强度大小为I 1B 2I 2，方向垂直纸面向外I 2d2 R电流 I 2 的圆线圈在 O 点产生的磁感强度大小为B 30 I2，方向垂直纸面向外2R所以， O 点的磁感强度大小为B B 2B 3 B 10 [(1) I 2I 1 ]2RR d方向垂直纸面向外。

15. 在半径为 R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为 a , 且 a ＞ r ，横截面如图所示。

现在电流 I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。

求：(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小；(2) 空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流I 2 和 I 2 ，应用补偿法求解。

电流 I 2 和I 2 在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为R 、电流I 1 I I 2 均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r 、电流I 2 均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。

I 2 和 I 1 的大小为I 2I r 2 ) r 2Ir2( R 2R 2r 2I 1 I I 2 IR 2R2r 2I 1 和 I 2 产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。

（ 1）电流 I 1 在 O 点产生的 B 10 ，电流 I 2 在 O 点产生的磁感应强度满足B dlB 2 2 aI0 I2iB 20 I 2Ir 22 a2 a R 2 r 2圆柱轴线上的 O 点 B 的大小为Ir 2B 0B 1B 22 a( R2r 2)(2) 电流I 2 在 O 点产生的 B 20 ，电流 I 1 在 O 点产生的磁感应强度满足 B dlB 1 2 aII1 2a 2I 1a 2 iRB 10 Ia2 a R22 ( R 2r 2)空心部分轴线上O 点磁感应强度的大小为B 0B 1 B 20 Ia2 (R 2r 2)16. 通以电流 I 的导线 abcd 形状如图所示， abcd l ，bc 弧是半径为 R 的半圆周，置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中， dFdlyB 的方向垂直纸面向里。

求此导线受到安培力的大小和方向。

解：应用安培定律求解。

ab 边受力大小为 x F ab BIl ，方向：向左cd 边受力大小为F cd BIl ，方向：向右对于 bc 边，建立图示坐标系。

在 bc 边上取电流元 Id l ， dF BIdl BIRd根据对称性有 F xdF y dF sin BIR sin dF ydF y BIR sin d2BIR此导线受到安培力的大小为F 2BIR ，方向沿 y 轴正向。

17. 在长直导线 AB 内通以电流 I 1 ，在矩形线圈 CDEF 中通有电流 I 2 ， AB 与线圈共面，且CD ， EF 都与 AB 平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。

求：导线 AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力及矩形线圈所受合力。

解： F CD 方向垂直 CD 向左，大小F CDI 2 b0 I12 d同理， F FE 方向垂直 FE 向右，大小 FFEI 2 b0 I12 (d a)F CF 方向垂直 CF 向上，大小为F CFd a 0 I 1 I2dr0 I 1 I2lndad2 r 2 dF ED 方向垂直 ED 向下，大小为FEDFCF线圈所受合力 FF CD F FE F CFF ED 方向向左，大小为FF CD F FE0bI 1 I 2 a2 d( da)18. 有圆线圈直径 8cm ，共 12 匝，通电流 5A ，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T 的匀强磁场中。

试求：（ 1）作用在线圈上的最大磁力矩；（ 2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）解： (1) P mNISR 2 NIM P m B sin 900R 2 NIB0.18N m(2)MP m B sin1P m B ，所以26R 的 1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流I ，把它放在磁感应强度19. 一线圈由半径为大小为 B 的均匀磁场中 (磁感应强度 B 的方向如图所示 )。

求：(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 ⌒所受的磁力；AB (2)线圈平面与磁场成 60°角时，线圈所受的磁力矩大小。

解：（ 1）建立图示坐标系。

在圆弧上取电流元Id lydFBIdlBIRddF根据对称性有 F x 0dlxdF y dF cos BIR cos dF ydF yBIR4cos d2IRB4圆弧 ⌒F2BIR ，方向与直线 AB 垂直，且与 OB 的夹角为 45 0AB 所受的磁力的大小为；（ 2）线圈的磁矩大小为P m IS1 R2 I4线圈所受的磁力矩大小为MP m B sin 3001 R2 IB820. 电子在 B7.0 10 3 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r 3.0cm 。