北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.-2的相反数是 A. 2 B.21 C. 21- D. -2 2.根据国家统计局的公布数据，2010年我国GDP 的总量约为398 000亿元人民币. 将398 000 用科学记数法表示应为A. 398×103B. 0.398×106C. 3.98×105D. 3.98×106 3．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于 A . 30° B. 40° C. 60° D . 70°4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边的中点．若DE =2，则AB 的长度是 A ．6 B ．5 C ．4 D ．35.甲、乙、丙、丁四名学生10次小测验成绩的平均数(单位：分)和方差如下表：则这四人中成绩最稳定的是A.甲B.乙C.丙D.丁 6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A ．11πB ．10πC ．9πD ．8π7. 若从10~99这连续90个正整数中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等，则选出的 数其十位数字与个位数字的和为9的概率是 A ．901 B. 101 C. 91 D. 4548. 如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B →C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R 应运动到 A ．BC 的中点处 B ．C 点处 C ．CD 的中点处 D ．D 点处选 手 甲 乙 丙 丁 平均数 92 92 92 92 方差0.0350.0150.0250.027二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式53+x 有意义，则x 的取值范围是____________. 10. 分解因式：a 2b -2ab+b =________________.11. 已知A 、B 是抛物线y=x 2-4x +3上关于对称轴对称的两点，则A 、B 的坐标可能 是 .（写出一对即可） 12. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 084sin 45(3)4-︒+-π+-．14. 求不等式组46,1(3)22x x +≤⎧⎪⎨->-⎪⎩ 的整数解．15．先化简，再求值：1)1213(22-÷-+-x xxx x x ，其中13-=x .16. 如图，在四边形ABCD 中， AC 是∠DAE 的平分线，DA ∥CE ，∠AEB =∠CEB . 求证：AB=CB .17.列方程或方程组解应用题随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ；（2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 某中学的地理兴趣小组在本校学生中开展主题为“地震知识知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：等级 非常了解 比较了解 基本了解不太了解频数 40 120 n 4 频率0.2m0.180.02（1）表中的m 的值为_______，n 的值为 ．（2）根据表中的数据，请你计算“非常了解”的频率在下图中所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．（3）若该校有1500名学生，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”的人数约为多少？20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x+b 与反比例函数y =xk 2的图象交于A (1,6)，B (a ,3)两点 . （1）求k 1， k 2的值；（2）如图，点D 在x 轴上，在梯形OBCD 中，BC ∥OD ,OB=DC ,过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为18时，求PE ：PC 的值.22. 如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形.设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值. （1）请你帮小萍求出x 的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的方程(m -1)x 2-(2m-1)x +2=0有两个正整数根.(1) 确定整数m 值；(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+xm=0的实数根的个数24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F .（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图325. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A C AC BDBB二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 9 10 1112答 案x ≠5b (a -1)2（1,0），（3,0）或 （0,3），（4,3）等938，0 1)332(-n ，0 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解:084sin 45(3)4-︒+-π+-=22422⨯-+1+4 ………………………………………4分 =5． …………………………………… 5分14．（本小题满分5分） 解：由①得：x ≤2. --------1分 由②得：x-3＞-4,x ＞-1. --------2分∴原不等式组的解集为 -1＜x ≤2. --------3分 ∴原不等式组的整数解为 0,1,2. --------5分 15．（本小题满分5分）1)1213(22-÷-+-x x xx x x=xx x x x x x 1]12)1)(1(3[2-⨯--+---------2分 =213-+x x=12+-x x . --------3分 当13-=x 时，3133312-=-=+-x x .--------5分 16．（本小题满分5分）证明：∵AC 是∠DAE 的平分线，-121CD3∴∠1=∠2. -------1分 又∵AD ∥EC ，∴∠2=∠3. ------2分 ∴∠1=∠3.∴AE=CE. --------3分 在△ABE 和△CBE 中， AE=CE ， ∠AEB=∠CEB ， BE=BE ，∴△ABE ≌△CBE. --------4分 ∴AB=CB. ------5分17．（本小题满分5分）解：设小明家2月份用气x 立方米，则去年12月份用气(x +10) 立方米．-------1分 根据题意，得%251096109690⨯+=+-x x x ． ----------------3分 解这个方程，得x ＝30． ---------------4分 经检验，x ＝30是所列方程的根．答：小明家2月份用气30立方米． -----------------5分 18．（本小题满分5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D. 又AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.---------2分 （2）在Rt △ABE 中，sin ∠BAE=53，AE=4,可求 AB=5. ---------3分 又∵∠BAE=∠DAF ， ∴ sin ∠DAF=sin ∠BAE=53. 在Rt △ADF 中，AF=524, sin ∠DAF =53,可求DF=518-------4分∵ CD=AB=5.ABCDEF∴CF=5-518=57． …………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）解：（1）0.6；36；------------2分 （2）72°；补全图如下：60%比较了解20%非常了解基本了解不太了解2%18%------------4分（3）1500×0.6＝900.答：学生中“比较了解”的人数约为900人 ------------5分 20.（本小题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，OD ⊥AB ，CB ⊥AB ，∴AM ＝MB ，OD ∥BC . …………………1分 ∴AD ＝DC . ……………2分 （2）∵DE 为⊙O 切线，∴OD ⊥DE ……………3分 ∴四边形MBED 为矩形.∴DE ∥AB. ……………4分 ∴MB=DE =2，M D=BE ＝EC =1. 连接OB.在R t △OBM 中，OB 2=OM 2+BM 2.解得 OB=25. …………………5分 21．（本小题满分5分）解：（1）∵点A (1,6),B (a ,3)在反比例函数y =xk 2的图象上， ∴ k 2=1×6=6. --------1分 ∴ a ×3=6，a =2. ∴B (2，3).由点A (1,6),B (2,3)也在直线y=k 1x+b 上， 得⎩⎨⎧=+=+,32,611b k b kC DxyOEPA BMOA BCDE解得k 1=-3.∴k 1=-3， k 2=6. -----------------2分 (2) 设点P 的坐标为（m,n ）. 依题意，得21×3（m +2+m -2）=18，m =6. -----------------3分 ∴ C （6,3），E （6,0）. ∵ 点P 在反比例函数y =x6的图象上， ∴ n =1. ------------------4分 ∴PE ：PC =1：2 . ------------------5分22．（本小题满分5分）解： （1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3. 在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=. 解得 6x =. --------------2分（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG.在△EFG 中，可求，433EG =. ∴△EFG 的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=833. ---5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解： 由方程(m -1)x 2-(2m -1)x +2+xm=0可得)1(22)1(4)12()12(2-⨯-⨯--±--=m m m m x =)1(2)32(12)1(2)32()12(2-+±-=--±-m m m m m mOxyGF ED CBA111-=m x ，.22=x ∵21,x x 均为正整数，m 也是整数， ∴m =2. ----------3分 （2）由（1）知x 2-3x +2+x2=0. ∴x 2-3x +2= -x2. 画出函数y = x 2-3x +2，y = -x2的图象，---------6分 由图象可知，两个函数图象的交点个数是1. ---------7分24. （本小题满分7分）（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x ，则CP ＝6－x.由题意可 △BEP 的面积为238x . △CFP 的面积为23(6)2x -. △ABC 的面积为93. 设四边形AEPF 的面积为y. ∴ 93y =-238x 23(6)2x --=25363938x x -+-. 自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分（3）可证△EBP ∽△PCF.∴BP BECF CP=. 设BP=x ， 则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或23. --------------7分25．（本小题满分8分）解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax 2+bx +8，初三数学一模试题(包含答案)11 / 11⎩⎨⎧=++=+-.08416,0824b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 228y x x ∴=-++配方得y2(1)9x =--+，顶点D （1,9）. ---------3分 （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，， 由(08)(19)C D ，，，求得直线CD 的解析式为8y x =+， 它与x 轴的夹角为45． 过点P 作PN ⊥y 轴于点N.依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°.∵PN=2，∴ON= 332或23．∴存在满足条件的点P ，P 的坐标为（2，332 ）和(2，23)．-----------6分 （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．当抛物线向上平移时，可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>． 当8x =-时，72y m =-+． 当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．由题意可得m 的范围为072m ∴<≤．∴ 抛物线最多可向上平移72个单位． -----------8分FP 2M 2N 2P 1N 1M 1HABOxy CD11E。