L/2
L/2
所以 c = L-3/2， 归一化的本征函数为：
( ) e nxnynz13/2 Nhomakorabeai
p•
r
L
e 1
i
p•r
V
讨论：
y
(a)
(b)
(c)
x
p A’ p A p
（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：
（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则:ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足 交换律，即
ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（5）对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 证：
x
pˆ x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
(1)
xpˆ x
x(i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
对易
关系
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
ypˆ y pˆ y y i
n0
1 n!
[
i
Hˆ t ]n
（9）复共轭算符
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中
的所有量换成复共轭.
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算 符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~
2 [(
y
z
z
y
)2
(z
x
x
z
)2
(x
y
y
x
)
2
Lx Ly
ypˆ z zpˆ x
zpˆ y xpˆ z
i(
y
z
i( z
x
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量 平方算符的本征方程不能分离变量,难于 求解,为此我们采用球坐标较为方便.
由此可得：:
d *O ˆ d (O ˆ)*
d *Oˆ d (Oˆ )*
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
dOˆ * * d *O~ˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义
算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ
2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
zpˆ z
pˆ z z
i
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
z
r
直角坐标与球坐标之间的变换关系
(II) 球坐标 x r sin cos r 2 x2 y2 z2
(1)
r
(I)p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， x对 易 ， p ˆx与 但 x不是 对 易 (II )p ˆx与 p ˆy对 易 p ˆy与 ， z对 易p ˆx ， 与 z对 而易 。
（6）对易括号
这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：
为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系
（6）对易括号
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符
（12）厄密算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。
| c |2
e d i
(
p
p
)•r
| c
|2
(2
)3
(
p
p)
i
ce
p•r
这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。
（3）箱归一化 据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是 不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。
周期性边界条件
但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一 化方法来归一，这种方法称为箱归一化。
第四章 力学量用算符表达
§1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 §3 厄密算符的本征值与本征函数 §4 算符与力学量的关系 §5 共同本征函数 §6 测不准关系
§1 算符的运算规则
（一）算符定义 （二）算符的一般特性
（一）算符定义
代表对波函数（量子态）进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
（3）算符之和
nx 0,1,2,
同 理 ：p y
2ny
L
pz
2nz
L
ny , nz 0,1,2,
波函数变为
这时归一化系数 c 可 由归一化条件来确定：
p
(r )
ce
i
p•r
p
(r
)
nx n y nz
ce i
[
2nx L
x
2n y L
y
2nz L
z]
L/2
L/2
p
*
p
d
c2
d c2 L3 1
（一）动量算符
（1）动量算符的厄密性 证：
使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。
* pˆ xdx
* (i
d dx
)dx
(i
d dx
)
*
dx
i * | (i)
d dx
*
dx
( pˆ x )*dx
由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。
（2）动量本征方程
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（8）算符函数
F(x)
x F(n)(0) n n!
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例 如:
e
i
Hˆt
n0
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
[x,p ˆ]i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
* p
( r )
p
( r )d
于是：
p
(r
)
(
x
)
(
y
)
(
z)
px ( x) py ( y) pz (z)
如果取
|c|2 (2π)3=1
| c |2
e e d
i
p•r
i
p•r
c e c e c e i
px x
i
py
y
i
pz z
1
2
3
则 ψp(r) 就可
归一化为 δ-函数。
x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*