教案
科目数学时间学生
第19章四边形
一．平行四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用“”表示.平行四边形ABCD记作“ABCD”.
1.平行四边形性质：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线相互平分（可否自己证明之？）
例题1：如图,AB DC
∥,AD BC
∥,如果
50
B
∠=,那么相等的角和边有 .
例题2：下列矩形中,按虚线剪开后,既能拼出平行
四边形和梯形,又能拼出三角形的是
A ＢＣ
2.
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例题3：如图：ABCD是平行四边形,∠ABC=70︒,BE平分∠ABC交AD于E,DF//BE,交BC于F,求∠1的大小.
（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形（可否自己证明？）
例题4：如图：四边形ABCD中,AD=12,DO=BO=5,AC=26, ∠ADB=90︒.求BC的长和四边形ABCD的面积.
A D
B C
中点中点中点
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（能否自己证明？）
例题5：在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC＝6cm,P、Q分别从A、C 同时出发,P以1 cm/S的速度由A向D运动,Q以2cm/S的速
度由C向B运动,问几秒时,四边形ABQP是平行四边形？
例题6：已知点(20)
A，、点B（
1
2
-,0）、点C（0,1）,以A、B、
C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在
（）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
练一练：
1．一组对边平行,另一组对边相等,这样的四边形一定是平行四边形.( ) 2．四边形ABCD中,如果AB＝BC,CD＝AD,那么四边形ABCD是平行四边形( )
3．在四边形中,有一组对边平行,还有一组对角相等,那么它是平行四边形( )
4．在四边形中,有一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形( ) 5．对角线相等的四边形是平行四边形( )
6．有两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形( )
7．四个角都相等的四边形一定是平行四边形( )
8．一条对角线经过另一条对角线的中点,那么这个四边形是平行四边形( ) 9. 如图,点D、E分别是∆ABC的边AB、AC的中点,求证DE//BC,
且DE=1
2 BC.
*由上题可知,三角形的中位线平行于三角形的第三边,
且等于第三边的一半.
二．特殊的平行四边形
1.矩形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形,也就是长方形
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
*能否证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例题7：如图,矩形ABCD中,E是AD中点,⑴判断△BCE是什么三角形？为什么？
⑵若∠EBC＝70°,求∠BEC的度数.
矩形的判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
例题8：BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,求证：四边形AEBD是矩形.
例题9：如图,已知平行四边形ABCD中,E是BC的中点,且EA＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
E
D C
B
A
对角线相等的平行四边形是矩形
例题10：已知：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,
△AOB是等边三角形,AB＝4cm．求这个平行四边形的面积．
有三个角是直角的四边形是矩形
例题11：已知：平行四边形ABCD四个内角平分线交于E、F、G、H.
求证：四边形EFGH是矩形.
A
B C D
E
F G
H
矩形练习：
1．一组对边相等,另一组对边平行,对角线相等的四边形是矩形.( )
2．有三个角相等的四边形是矩形.( )
3．如图,MN∥PQ,同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别交于点B、D
⑴猜想AC和BD的位置关系是
⑵证明你的猜想.
2. 菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线相互垂直平分,并且每条对角线平分一组对角 菱形的判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
例题12：已知如图,四边形ABCD 、四边形DEBF 都是矩形,AB=BF,BE 、AD
交于点M,BC 、DF 交于点N,试说明四边形BMDN 是菱形.
（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形
例题13：如图,已知AD 平分∠BAC,DE//AC,DF//AB,AE=5.
（1）判断四边形AEDF 的形状？ （2）它的周长为多少？
（3）四边相等的四边形是菱形
例题14：如图,已知在ABCD 中,AD=2AB,E 、F 在直线AB 上,且AE=AB=BF,证明:CE ⊥DF.
例题15：已知菱形的两条对有线长分别为6和8,求菱形的面积.
例题16：如图,四边形ABCD 是菱形,∠BAC ＝30°,BD ＝6cm, 求∠BAD 、∠ABD 的度数,求AB 的长.
例题17：如图4－48,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线交CD 于E,交BC 于F,FG ⊥AB 于G ．求证：四边形EGFC 为菱形.
菱形练习
1．有一条对角线平分一组内角的四边形是菱形.( ) 2．两条对角线垂直且相等的四边形是菱形.( ) 3．菱形对角线的交点到各边的距离相等.( ) 4．菱形的一个顶点到它所对的两边距离相等.( ) 5．有一组邻边相等的平行四边形式菱形.( )
B
C
D
E A F
M N
6．一组邻边相等,且对角互相垂直的四边形是菱形.( )
7、如图,O是矩形ABCD对角线的交点,DE∥
AC,CE∥BD,试说明OE与CD互相垂直平分.
3.正方形
正方形四条边相等,四个角都是直角,所以,正方
形既是矩形,又是菱形
例题18：E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM==DN,四边形
.
EFMN是甚么图形？证明你的结论
（1）有一个角是直角的菱形是正方形
例题19：如图,△ABC中,点O是AC上一动点,过点O
作直线MN∥BC,设Mn交∠ACB的平分线于点E,交∠ACH
的平分线于点F.
（1）说明：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时,四边
形AECF是矩形；（3）当O是AC上怎样的点,且AC与
BC具有什么关系时,四边形AECF是正方形？
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
例题20：如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B的平分Array线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证：四边
形CFOE是正方形．
（3）对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形
正方形练习
1.如图,E是正方形ABCD外一点,AE＝AD,∠ADE＝
75°,求∠AEB的度数.
2.对于周长为20的矩形,通过填写下表,研究它的长、宽的变化对面积的影响.
……8 7 6 5 4 3 2 ……矩形的
长
…………矩形的
宽
矩形的面积
……
三． 梯形
梯形定义：一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形,两腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一个角是直角的梯形是直角梯形. 等腰梯形的两个底角相等,等腰梯形的对角线相等 反过来,同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 例题21：如图,等腰梯形ABCD 中,AD ＝2,BC=4,高DF ＝2,求腰DC 的长.
例题22：如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,M 、N 、P 、
Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点.求证：MN 和PQ 互相平分.
例题23：已知：梯形ABCD 中,AB ∥CD,E 为DA 的中点,且BC=DC+AB.求证：BE ⊥EC.
梯形练习
1．若等腰梯形一腰上的两个内角的度数之比为1∶3.则它的各个内角的度数分别是
2．已知梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝CD,∠C ＝60°,AD ＝3cm,DC ＝5cm,那么梯形ABCD 的周长是 3．如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC ＝72°,平移腰AB 到DE,再将△DCE 沿DE 翻折,得到△DC ’E,则∠EDC ’ ＝
4．如图,AD ∥BC,AB ＝CD,BD 平分∠ABC, ∠ADB ＝30°,AD ＝3cm,求梯形ABCD 的周长.
5．如图,AD ∥BC,∠DBC ＝∠ACB ＝30°,∠ADC ＝2∠DCB
N M
Q
P
D
C
B A
⑴求∠ADC和∠DCB的度数；⑵求∠BDC和∠DCA的度数.
6、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD＝BC,AC⊥BD于E,CF是梯形的高,试说明
CF＝1
2
(AB＋CD)。