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1《集合与简易逻辑》

集合的概念一、高考要求:1. 理解集合、空集、子集的概念;掌握用符号表示元素与集合的关系;2. 掌握集合的表示方法.二、知识要点:1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示.常用到的数集有自然数集N (在自然数集内排除0的集合记作N + 或N*)、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R.2. 集合中元素的特征:①确定性:a ∈A 和a ∉A,二者必居其一;②互异性:若a ∈A,b ∈A,则a≠b;③无序性: {a ,b}和{b ,a}表示同一个集合.3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法.4. 集合的分类:含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ.5. 集合间的关系:用符号“⊆”或“⊇”、“⊂()”或“⊃()”、“=”表示.子集:一般地,如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A,读作A 包含于B,或B 包含A.即:A ⊆B ⇔x ∈A ⇒x ∈B.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A.等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A 等于集合B,记作A=B.即:A=B ⇔x ∈A ⇔x ∈B.三、典型例题:例1:数集A 满足条件:若a ∈A,则有)1(11≠∈-+a A aa . (1) 已知2∈A,求证:在A 中必定还有另外三个数,并求出这三个数;(2)若a∈R,求证:A不可能时单元素集合.例2:已知集合A={a,a+d,a+2d},B={a,aq,aq2},若a,d,q∈R且A=B,求q的值. 例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若B⊆A,求实数a的值; (2)若A⊇B,求实数a的值.四、归纳小结:1.任何一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A;集合A不是集合B的子集,记作A B或B A.2.空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.3.对于集合A、B、C,如果A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 如果A B, B C,则A C;如果A⊆B, B⊆A,则A=B; 如果A=B, 则A⊆B, B⊆A.4.注意区别一些容易混淆的符号:①∈与⊆的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ⊆是表示集合与集合之间的关系;②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合;③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.五、基础知识训练:(一)选择题:1.下列条件不能确定一个集合的是( )A.小于100的质数的全体B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体C.充分接近3的所有实数的全体D.身高不高于1.7m的人的全体2.下列命题中正确的是( )A. {4,5}和{5,4}是两个不同的集合B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2D.小于10的偶数集合是有限集3.集合M={1,2,3,4,5}的子集个数是( )A.32B.31C.16D.154.已知集合M={(0,1)},则( )A.0∈MB.1∈MC.(0,1) ∈MD.(1,0) ∈M5.集合{0}与Φ的关系是( )A.{0}=ΦB.Φ∈{0}C.{0}ΦD.Φ{0}6.设I为全集,集合A、B⊆I,A∪B=B,则( )A.A⊆BB.A⊆BC.A⊆BD. A⊆B7.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( )A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对8.设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是( )A.P=MB.P MC.P MD.不同以上答案9.设I为全集,且Φ⊆A⊆B⊆I,下列集合中,一定为空集的是( )A.A∩BB.A∪BC.A∩BD.A∩B10.设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( )A.x∈M或x∈NB.x∈M且x∈NC.x∈M但x∉ND.x∉M但x∈N (二)填空题:11.已知A={x | 1≤x<4},B={x | x<a},若A B,则实数a的取值集合为.12.已知A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,则实数a= ,b= .13.若集合A有n个元素,则其子集个数为.14.已知非空集合M满足:M⊆{1,2,3,4,5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件的集合M的个数是.(三)解答题:15.已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.集合的运算一、高考要求:理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算.二、知识要点:1. 交集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,由既属于A 又属于B 的所有元素所构成的集合,叫做A 、B 的交集,记作A∩B,读作A 交B.即:A∩B ⇔{x|x ∈A 且x ∈B}.2. 并集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A 、B 的并集,记作A ∪B,读作A 并B.即:A ∪B ⇔{x|x ∈A 或x ∈B}.3. 补集:一般地,如果集合A 是全集U 的一个子集,由U 中的所有不属于A 的元素构成的集合,叫做A 在U 中的补集,记作A C U (或A ),读作A 在U 中的补集.即:A C U = {x|x ∈U 且x ∉A}.三、典型例题:例1:已知集合A={1,3,- x 3},B={1,x+2}.是否存在实数x,使得B ∪(B C U )=A? 实数x 若存在,求出集合A 和B;若不存在,请说明理由.例2:若A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},C={x|x 2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A ∪B,求a 的值;(2)若ΦA∩B 且A∩C=Φ,求a 的值;(3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a 的值.例3:某校先后举行数理化三科竞赛,学生中至少参加一科的:数学807人,物理739人,化学437人,至少参加两科的:数学与物理593人,数学与化学371人,物理与化学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数.四、归纳小结:1. 交集的性质:A∩A=A ;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B ⊆A;A∩B ⊆B;如果A ⊆B,则A∩B=A .2. 并集的性质:A ∪A=A;A ∪Φ=A ;A ∪B=B ∪A;A ⊆A ∪B;B ⊆A ∪B;如果A ⊆B,则A ∪B=B.3. 补集的性质:A C A =Φ;ΦA C =A;A ∪A C U =U;A∩A C U =Φ;A A C C U U =)(;)(B A C U ⋂=A C U ∪B C U ;)(B A C U ⋃=A C U ∩B C U .五、基础知识训练:(一)选择题:1.下列说法正确的是( )A.任何一个集合A 必有两个子集B.任何一个集合A 必有一个真子集C.A 为任一集合,它与B 的交集是空集,则A,B 中至少有一个是空集D.若集合A 与B 的交集是全集,则A,B 都是全集2.设集合A={x| x 2-6x+5<0},B={x||x-4|≤2},则A∩B=( )A.{x|1<x≤6}B.{x|2≤x <5}C.{x|2<x≤5}D.{x|2≤x≤6}3.设集合A={x| x(x-1)=0,x ∈R},B={x| x 2+x-2=0,x ∈R},则A∩B 是( )A.{0,1,2}B.{0}C.{1}D.{2}4.设集合A={(x,y)| 4x+y=6},B={(x,y)| 3x+2y=7},则集合A∩B 是( )A.{(1,2)}B.{1,2}C.{(2,1)}D.{(-1,-2)}5.集合A={}110|-≤≤-∈x Z x x 且,B={}5|||≤∈x Z x x 且,则A ∪B 中的元素个数( )A.11B.11C.16D.156.设全集U=R,集合M={x| -3≤x <2},P={x| x≥0},则)(P M C U =( )A.{x| 0≤x <2}B.{x| x≥2}C.{x| x <0或x≥2}D.{x| x≤0或x >2}7.已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是( )A.A ∪BB.A∩BC.B A ⋃D.B A ⋂8.已知集合A={a 2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a 2+1},若A∩B={-3},则实数a 的值是( )A.-1B.0C.1D.29.设全集为U,对任意子集合A,B,若A B,则下列集合为空集的是( )A.A∩(B C U )B.(A C U )∩(B C U )C.(A C U )∩BD.A∩B(二)填空题:10. 设集合A={x|x+8>0},B={x|x-3<0},C={x|x 2+5x-24<0},(x ∈R),则集合A 、B 、C 的关系是 .11. 设A={x||x-a|≤2},B={x|x 2-6x+8≥0},且A∩B=Φ,则a 的取值范围是 .12. 已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x >a},若A∩B≠Φ,A ∪B≠B,则a 的取值范围是 .13. 若集合A 和集合B 满足A ∪B=A∩B,则A 与B 的关系是 .14. 设M={x|x 2-2x+p=0},N={x|x 2+qx+r=0},且M ∩N={-3},M ∪N={2,-3,5},则实数p= ,q= ,r= .15. 已知集合A={1,2,3,x},B={x 2,3},且A ∪B=A,试求x 的值.简易逻辑一、高考要求:理解推出、充分条件、必要条件和充要条件.二、知识要点:1. 推出:①如果p,则q(真命题);②p ⇒q;③p 是q 的充分条件;④q 是p 的必要条件.这四句话表述的是同一逻辑关系.2. 充要条件:①p ⇔q;②p 是q 的充要条件;③q 当且仅当p;④p 与q 等价. 这四句话表述的是同一逻辑关系.三、典型例题:例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件四、归纳小结:1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反;“p 且q”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真,其它情况时为假;“p 或q”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假,其它情况时为真.2. 符号“⇒”叫作推断符号,符号“⇔”叫作等价符号.五、基础知识训练:1.在下列命题中,是真命题的是( )A.x >y 和|x|>|y|互为充要条件B.x >y 和x 2>y 2互为充要条件C.a 2>b 2 (b≠0)和2211ba >互为充要条件D.b a 4131-<-和4a >3b 互为充要条件2.“a <b <0”是“ba 11>”成立的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件3.“A∩B=A”是“A=B”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件。

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