2020-2021学年下学期高二年级3月数学（理科）试卷一、选择题1.复数()()22563i()m m m m m -++-∈R 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值是( ) A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 2.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为( ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -23.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为8512π3+,则其正视图中x 的值为( )A.5B.4C.3D.2 4.已知函数2()ln f x x x x =-+，则函数f x （）的单调递增区间是（ ） A ．1∞（-，）B ．（0，1）C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,∞（+）5.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．26.已知函数3()xx f x e=,那么（ ）A.()f x 有极小值,也有大极值B.()f x 有极小值,没有极大值C.()f x 有极大值,没有极小值D.()f x 没有极值7.函数6()22x xxf x -=+图象大致是（ ）A. B.C. D.8.已知函数e ()x f x ax x=-，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.(,e]-∞ B ．(,e)-∞ C ．e (,)2-∞ D ．e(,]2-∞9.有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,,2,3P Q ,为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A.第一张，第三张B.第一张，第四张C.第二张，第四张D.第二张，第三张10.已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A.30,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B.()0,1 C.2,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭11.已知球O 的表面上有,,,A B C D 四点,且2,22AB BC ==,π4ABC ∠=.若三棱锥B ACD-的体积为42,且AD 经过球心O ,则球O 的表面积为( )A.8πB.12πC.16πD.18π12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =,且()f x 的导函数'()41f x x <-,则不等式2()21f x x x <-+的解集为( )A. {}|33x x -<<B. {}|3x x >-C. {}|3x x >D. {|3x x <-或}3x >二、填空题13.复数z 满足2i z z +=+,则z =______________.14.．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为___________.15.已知函数321()ln 2f x ax x x x x =-+-存在两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.16.三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC △斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为323π； ③若3,4,3AC BC SC ==S 在平面ABC 上的射影是ABC △内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3,4,3AC BC SA ===，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒． 其中正确命题的序号是________________．(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题17.已知a b c >>,且0a b c ++=,求证: 23b aca-<.18.设函数()32f x x ax bx c =+++ （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围;19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，且椭圆C 过点32(,)22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，且与圆：222x y +=交于点E,F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．20.如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF △沿直线BF 翻折至A BF '△，使得平面A BF '⊥平面 BCDEF O H ，，分别为BF 和A C '的中点．（1）证明：//OH 平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值．21.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)过椭圆E 内一点3(1)M ,的直线与椭圆E 分别交于A B ,两点，与直线14y x =-交于点N ，若BMn NB AM m NA ==,，求证:n m +为定值，并求出此定值.22．已知函数)(1ln )(R a a x xax x f ∈-+-+=. (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)若存在1>x ，使xxx x f -<+1)(成立，求整数a 的最小值.答案一、BBCB ACCD BCCC二、13.答案：3i 4+ 14.+1 15.答案：10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 16.答案：①②③ 14.+1过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，设PA 的倾斜角为α，则sin α=，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1，∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．15.答案：10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：由题意得2()3ln ,f x ax x x '=--因为函数()f x 有两个极值点，所以()f x '有两个变号零点.由()0f x '=得23ln ax x x =+，即3a =2ln .x x x +令2ln (),x xg x x +=则312ln (),x xg x x '-+-=易知函数12ln y x x =-+-是减函数，且当1x =时，0y =，所以当01x <<时，()0,()g x g x '>单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.故max ()(1)1,g x g ==又当10e x <<时,()0,g x <当1x >时,()0g x >所以要使()f x '有两个零点，需031a <<，即103a <<.16.答案：①②③解析：对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴222244443R =++，23R =∴体积为34(23)3233V ππ==，∴②正确；对于③，设ABC △内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以2OC ，222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，∴③正确；对于④，若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角时，P 点与A 点重合，在Rt SCA △中，3tan 15ASC ∠==，45ASC ∴∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④不正确三、17.答案：因为a b c >>,且0a b c ++=,所以0a >,0c <,要证明原不等式成立,,即证22 3b ac a -<, 从而只需证明()22 3a c ac a +-<,即()()2? 0a c a c -+>, 因为0a c ->,2? b 0a c a c a a +=++=->, 所以()()2? 0a c a c -+>成立,故原不等式成立.18.答案：（1）由32()f x x ax bx c =+++得2()32f x x ax b '=++,∵'(0),(0)f c f b == 所以曲线(x)y f =在点()0,(0)f 处的切线方程为y bx c =+（2）当4a b ==时, ()3244f x x x x c =+++,所以()2'384f x x x =++. 令()'0f x =,得23840x x ++=,解得2x =-或23x =-.()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下:当0c >且32027c -<时,存在()14,2x ∈--,222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使()()()123f x f x f x ==.由()f x 的单调性知,当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点.19.答案：(1)由已知可得c a =，所以2232a b =所以椭圆的方程为2222132x y b b +=将点3(2代入方程得22b =，所以23a =。