高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）1．若a 是实数，化简02)1(|23|324++-++a 的结果为（ ） A ．333+B ．3C ． 3D ． 42．某班体育委员对七位同学定点投篮进行数据统计，每人投十个，投进篮筐的个数依次为：5，6，5，3，6，8，9．则这组数据的中位数和平均值分别为（ ） A ．6，6B ．6，24C ．6，724D ．7，724 3．连续三次抛掷一枚质地分布均匀的硬币，至少连续．．两次正面向上的概率为（ ）A ．81B ．41C ．83D ．214．在一列数123x x x ，，，…中，已知11=x ，且当k ≥2时，112 1444k kkkx x-⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+--⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a表示不超过实数a的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x等于（）．A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为C(1,k)，与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(不包含端点)，则k的取值范围是（）A．2＜k＜3B．52＜k＜4 C．83＜k＜4D．3＜k＜46．如图，四边形ABCD对角线AC与BD互相垂直.若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A．32B．4C．23D．427．设a, b, c都是实数，且12,2222=++=++cbacba，则c的最大值与最小值的和为（）第5题图第6题图第11题图A ．2-B ．316 C ．310D ．34二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分） 8．已知 , a b ==，则22a b += 9．已知关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=（k 为实数）的两个实数根分别为1x 、2x ，则221212x x x x +=10．已知实数0abc ≠，且k bac a c b c b a =+=+=+，则直线k kx y +=与两坐标轴围成的三角形面积为11．P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，ΔPEF 、ΔPDC 、ΔP AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2，则S 1+S 2= 12．已知关于x 的方程|21|0x a --=恰有两个正数解，则实数a 的取值范围为 13．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 14．已知二次函数2 y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a 的取值范围为三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤）15．（本小题10分）解方程组229410(9)(4)24x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩16．（本小题10分）如图，在直角平面坐标系中，点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上，3AO =，AB AC =，4cos 5ABC ∠=，点D 在AB 上，CD 与y 轴交于点E ，且满足COE ADE S S ∆∆=.求以点C 为顶点，经过点E 的抛物线的解析式.E17．（本小题13分）矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口.现拟建一个收费站P，在铁路线BC段建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及PH之长度和为l.(Ⅰ) 求出l的最小值；(Ⅱ) 请指出当l取最小值时，收费站P和发货站H的几何位置.18．（本小题13分）设正整数q p n m ,,,满足)13(),13(22-=+=q p n q p m ，求满足条件的所有q 值.19．（本小题13分）如图，M是以AB为直径的圆O内一点，AM、BM的延长线分别与圆O交于C、D两点，过点M作MN AB于点N，过点C作圆O的切线，交MN于E点，联结DE，求证：DE是圆O的切线.证明：高一自主招生考试数学参考答案一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中）二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分）8. 14 9. 2 10. 1或21 11. 8 12. 0<a <1 13. 144 14. 164a -≤<15.解：原方程组可变形为94()()1094()()=24x y x y x y x y ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+⋅+⎪⎩………………………………..3分 于是94x y x y++和可看作方程210240t t -+=的两个根.求出此两根为124,6t t ==即：9444(1)(2)4966x y x y y x y x ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩或…………………………………………………..6分由方程组(1)得：22490640x x y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩（无解）由方程组(1)得：22690440x x y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解出32x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意…………………………………………………………………….10分16.解：由COE ADE S S ∆∆=知12CBD AOB ABC S S S ∆∆∆==，从而D 为AB 中点……………3分又CD 为中线，AO 为中线，所以E 为三角形ABC 重心， 则113OE AO ==，得点(1)E -0，…………………………………………………………6分又根据4cos ,5ABC ∠=得出OB=OC=4，从而结合图知(4,0),(4,0)B C -……………8分根据题意可设抛物线解析式为2(4)y a x =-，将(1)E -0，代入得：116a =-化简得抛物线的解析式为E2111162y x x =-+-……………………………………….10分 17. 解：（1）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转60°到矩形AEFG 的位置，则矩形内的点P 和边BC 上的点H 随之分别旋转到了点N 和点Q ，△APN 是正三角形，有AP=AN=PN ，NQ=PH 则l =PD+PA+PH=PD+PN+NQ ，即为点D 到直线GF 的距离，而直线GF 是固定的直线，∴l 的最小值就是点D 到定直线GF 的距离DM ．可计算l 的最小值DM ＝310006002⨯+＝5003600+(m)………………………………………7分（2）当辅设公路总长l 取最小值时，点Q 与H 重合，D 、P 、N 、Q 四点共线，此时∠APD=120°，∵∠DAG=60°，∴∠ADM=30°，故∠DAP=180°-120°-30°=30°．于是，收费站P 的几何位置在以AD 为底边、两底角为30°的等腰三角形的顶点处，H 即为BC 的中点处．………………………………………………………………………………13分18 .设正整数q p n m ,,,满足)13(),13(22-=+=q p n q p m，求满足条件的所有q 值.解：由已知得：131322-+=q q n m ，设m,n 的最大公约数是t ，令,,00t n n t m m == 则有：1313222020-+==q q n m n m （*）……………………………………………..4分由1),(00=n m 知：1),(2020=n m ，从而（*）左边是既约分数，不妨设：,13,132020kn q km q =-=+（k 为正整数）…………………………………………..8分于是有：26)(2020=-n m k ，即：k n m n m 26)()(0000=+⋅-是26的一个正约数， 由于)()(0000n m n m +-与具有相同的奇偶性，故只能满足k=2,13)()(0000=+⋅-n m n m得出：6,700==n m ，则854921320=⇒⨯==+q km q .经检验，当)85,2,12,14(),,,(=q p n m 时，符合题意.故d 的值只有85…………….13分19证明：连结图中各线，根据题意得：090OCE ONE ∠=∠=，∴,,,O N C E 四点共圆………………………………3分COB CEN ∴∠=∠OBC EMC ∴∆∆∽…………………………………6分 OC EC BC MC∴= OCE BCM ∠=∠，则OCE BCM ∆∆∽………………………………..9分 从而COE CBM ∴∠=∠进而COE DOE ∠=∠由OCE ODE ∆∆≌得：090OCE ODE ∠=∠=因此. DE 是圆O 的切线. ………………………………..13分。