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课时提升作业(七)正弦函数的图像与性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南昌高一检测)函数y=sinx是( )A.增函数B.减函数C.偶函数D.周期函数【解析】选D.由正弦曲线y=sinx的图像,可得函数y=sinx的增区间是[-+2kπ,+2kπ](k∈Z);减区间是(k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数,故选D.2.下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是( )A.[0,π]B.C. D.[π,2π]【解析】选C.由函数的图像可知,正弦函数在[-,]上是增加的.3.方程sinx=在(0,+∞)上的根的个数是( )A.3B.4C.5D.6【解题指南】作出y=sinx,y=的图像,利用两个函数交点的个数与方程根的个数相同解题.【解析】选B.在同一坐标系内分别作出x∈(0,+∞)上y=sinx,y=的图像如图所示,,两图像有4个交点,故方程sinx=有4个根.4.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】选C.因为cos10°=sin80°,sin168°=sin12°,又因为正弦函数在上是增加的,故sin11°<sin12°<sin80°,故sin11°<sin168°<cos10°.5.(2015·六安高一检测)函数f(x)=sinx+2|sinx|(x∈[0,2π])的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(1,3)C.(-1,0)∪(0,3)D.[1,3]【解析】选B.因为f=分别作出f与y=k的图像如图:当k∈时两函数有两个交点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sinx,x∈的值域是__________.【解析】由函数的图像可知,函数y=sinx,x∈[-,]的值域为.答案:7.当函数f(x)=3sin x取最小值时,x=__________.【解析】令x=+2kπ,k∈Z,解得x=3π+4kπ,k∈Z.答案:3π+4kπ,k∈Z8.(2015·抚州高一检测)已知f(n)=sin,n∈Z,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=__________.【解题指南】先计算前几项的值,利用函数值的周期性求和.【解析】因为f(1)=,f(2)=1,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-1,f(7)=-,f(8)=0,f(9)=,…,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,因为2017=252×8+1,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=f(1)=. 答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)请补充完整下面用“五点法”作y=-sinx(0≤x≤2π)的图像时的列表.x 0 ③④2π-sinx ①②0 1 ⑤①______;②______;③______;④______;⑤______.(2)请利用“五点法”画出函数y=2sinx在区间[0,2π]上的简图. 【解析】(1)由诱导公式知,当x=0时,y=-sinx=0;当x=时,y=-sinx=-1;当x=π时,y=-sinx=0;当x=π时,y=-sinx=1;当x=2π时,y=-sinx=0.答案:①0②-1③π④⑤0(2)列表:x 0 π2πy=sinx 0 1 0 -1 0y=2sinx 0 2 0 -2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.10.已知函数f(x)=2sinx+1.设集合A={x|≤x≤},B={x||f(x)-m|<2},若A∪B=B,求实数m的取值范围.【解析】因为A∪B=B,所以A⊆B,因为|f(x)-m|<2,所以m-2<f(x)<m+2,因为≤x≤,所以≤sinx≤1,所以2≤f(x)≤3,所以所以1<m<4.【补偿训练】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx.(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.【解析】(1)若x∈,则-x∈.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.若x∈,则π+x∈,因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx,所以x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图如图所示:(3)x∈[0,π],sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是k π+≤x≤kπ+,k∈Z.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.与正弦曲线y=sinx关于直线x=对称的曲线是( )A.y=sinxB.y=cosxC.y=-sinxD.y=-cosx【解析】选D.在正弦曲线y=sinx对称图像上任取一点,则该点关于x=的对称点为,由题意y=sin=-cosx.2.(2015·南阳高一检测)已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sinx,则当x∈[π,3π]时,f(x)等于( )A.1+sinxB.1-sinxC.-1-sinxD.-1+sinx【解题指南】由题意,可先由函数是偶函数求出x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,再利用函数是以π为周期的函数得到x∈时,f(x)的解析式即可选出正确选项.【解析】选B.由题意,任取x∈,则-x∈,又x∈时,f(x)=1-sinx,故f(-x)=1+sinx,又f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),所以x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,由于f(x)是以π为周期的函数,任取x∈,则x-3π∈,所以f(x)=f(x-3π)=1+sin(x-3π)=1-sinx.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·大连高一检测)在“五点作图法”中,函数y=sinx-1的第四点是________.【解析】当x=时,y=sin-1=-1-1=-2,所以第四点为.答案:4.(2015·南通高一检测)函数在f(x)=sinx-a,x∈上有两个零点,则实数a的取值范围是______________.【解析】令f(x)=sinx-a=0,则sinx=a,分别作出函数y=sinx,x∈,y=a的图像如图所示:则当≤a<1时,两图像有两个交点,则函数有两个零点.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图像,写出满足下列条件的x的区间:①-sinx>0;②-sinx<0.(2)直线y=与y=-sinx的图像有几个交点?【解析】列表如下:x -π-0 πy 0 1 0 -1 0描点,连线得图像如图所示:(1)根据图像可知,图像在x轴上方的部分-sinx>0,在x轴下方的部分-sinx<0,所以当x∈(-π,0)时,-sinx>0;当x∈(0,π)时,-sinx<0.(2)画出直线y=与y=-sinx的图像,得知有两个交点.6.(2015·宿迁高一检测)已知函数f(x)=x2+2xsinα-1,x∈,α∈[0,2π],(1)当α=时,求f(x)的最大值和最小值,并求使函数取得最值的x的值.(2)求α的取值范围,使得f(x)在区间上是单调函数.【解析】(1)当α=时,f(x)=x2+2xsin-1=x2+x-1=-,因为x∈,所以当x=-时,f(x)取到最小值-;当x=时,f(x)取到最大值-.(2)函数f(x)=x2+2xsinα-1图像的对称轴为直线x=-sinα,当-sinα≤-,即sinα≥,即≤α≤时,函数f(x)在区间上是增函数;当-<-sinα<,即-<sin α<,即0≤α<或<α<或<α≤2π时,f(x)在区间3,sin α[--]上为减函数,在1-sin ,2α[]上为增函数;当-sin α≥,即sin α≤-,即≤α≤时,函数f(x)在区间是减函数.综上所述:当≤α≤或≤α≤时, 函数f(x)在区间上是单调函数.关闭Word 文档返回原板块。