§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.
2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A ．任意x ∈R ，x 2
>0
B ．任意x ∈Q ，x 2
∈Q
C ．存在x 0∈Z ，x 2
0>1
D ．任意x ，y ∈R ，x 2＋y 2
>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A ．斜三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数x 0，使x 2
0>0 C ．任一无理数的平方必是无理数
D ．存在一个负数x 0，使1
x 0
>2
5．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x >3；
③对任意一个x ∈Z,2x 2
＋1为奇数
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．下列命题中，真命题是( )
A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2
＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2
＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2
＋mx (x ∈R )都是偶函数
D ．任意m ∈R 2
二、填空题
7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)
①存在x ∈R ，x 2
＝0； ②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
8．不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)
①不存在实数x ，使x 2
＋x ＋1<0； ②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；
③方程x 2
－2x ＋3＝0有两个不等的实根；
④不等式x 2－x ＋1
|x |＋1
<0的解集为∅.
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x
>0.
(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.
(4)存在x 0∈R ，使x 2
0＋1<0.
11．已知对任意x>0，a<x＋1
x
恒成立，求a的取值范围．
能力提升
12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )
A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 2
0－bx 0
B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 2
0－bx 0
C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 2
0－bx 0
D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12
ax 2
0－bx 0
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体或全部 全称量词 2．个别或一部分 存在量词 作业设计 1．C 2．D 3．B 4．B 5.C 6．A 7．①②③
解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2
＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数． 8．(－2,2]
解析 当a ＝2时，显然符合条件； 当a ≠2时，有 ⎩
⎪⎨⎪⎧
a <2，Δ＝4a －22
－4a －2×－4<0， ⇒－2<a <2.
综上，a 的取值范围是(－2,2]． 9．①②④
解析 对于选项③，方程x 2
－2x ＋3＝0没有实根，是假命题． 10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x
>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．
(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x 0∈R ，x 2
0＋1>0， ∴命题(4)是假命题．
11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1
x
恒成立，
只需a <⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x min 恒成立．
∵x >0，x ＋1x
≥2，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x min ＝2.
∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．
12．C。