p : x M,p(x)
特称命题的否定是全称命题
例4 写出下列特称命题的否定
(1) p:x0 R,x0 +2x0 +2 0；
2
(2)P:有的三角形是等边三角形; (3)P:有一个素数含三个正因数.
p 解：（1）
（ 2）
：x R, x 2 x 2 0.
2
p :所有的三角形都不是等边三角形; （3）p ：每一个素数都不含三个正因数。
存在量词 存在一个、 至少有一个、 有一个、 对某个、 有些 符 号
特称命题 形 式
含有全称量词的命题 “存在M中的元素x0，有p(x0)成立”
简记： x0∈M，p(x0)
例2 判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。
P23
练习：
1 判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； 是真命题
（2）任何实数都有算术平方根；
（ 3）
是假命题 是假命题
1.4.2 存在量词
P22 思考：
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； 不是命题
(2)x能被2和3整除； 不是命题 (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； 是真命题 (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。是真命题
5．下列四个命题中，假命题为（
D）
A．存在x∈R，使lgx＞0
C．任意x∈R，使2x＞0 6．下列命题中，真命题是（ A．∀x∈R，lgx＞0
B．存在x∈R，使x1 /2 ＝2
D．任意x∈R，使x2+3x+1＞0
C
）
B．∃x∈R，x2-x+1≤0
C．∃x∈R，2x＞1
D．∀x∈N*，（x-2）2＞0
3)x R, x 2 x 1 0
2
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:
x M , P( x),
）
A．∃x∈R，cos≥1
C．∃x∈R，cosx＜1
B．∀x∈R，cos＜1
D．∀x∈R，cosx＞1
2．已知命题p：∃x0∈R+，log2x0＝1，则¬p是（
B
）
A．∀x0∉R+，log2x0≠1
C．∃x0∈R+，log2x0≠1
B．∀x0∈R+，log2x0≠1
D．∃x0∉R+，log2x0≠1
A
）
11．已知“命题p：∃x∈R，使得ax2+2x+1＜0
成立”为真命题，则实数a满足（ B ）
A．(0，1）
C．(1，+∞）
B．（-∞，1）
D．（-∞，1]
12．已知p：∃x∈R，mx2+2≤0，
q：∀x∈R，x2-2mx+1＞0，若p∨q为假命题， 则实数m的取值范围是（
D
） D.[-1，1]
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
15．“m＜1”是“函数f（x）=x2+x+m 有零点”的（ C A．充分非必要 C．必要非充分 ）条件． B．充要 D．非充分必要 ）
16．“2＜x＜3”是“x（x-5）＜0”的（ A A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A.[1，+∞） B.（-∞，-1] C.（-∞，-2]
13．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，
则“a=3”是“A⊆B“的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ）
14．“x＜-1”是“x2-1＞0”的（ A A．充分而不必要条件 C．充要条件
全称量词 符 号
是真命题
所有的、 任给、每一个、 对一切

含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”
简记：
全称命题 形 式
x∈M，p(x)
例1：判定全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数 （2）

x∈R,
x2+1≥1
（3）对每个无理数x，x2也是无理数 要判定全称命题“x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
11．已知p：-2≤x≤10；q：x2-2x+1≤m2（m＞0）； 若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m； （3）真命题。
小 结：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 成立即可 （举例证明）
判断特称命题"x0 M,p(x0 )"是假命题的方法：
——需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。
P23
练 习：
是真命题 是真命题
2 判断下列特称命题的真假：
3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
∀x∈A，2x∈B，则（
D）
B．￢p：∀x∉A，2x∉B
D．￢p：∃x∈A，2x∉B
A．￢p：∀x∈A，2x∉B
C．￢p：∃x∉A，2x∈B
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为 D
（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．不存在x∈R，都有x2＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
7．下列命题为真命题的是（
B
）
A．若p∨q为真命题，则 p∧q为真命题 B．“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件 C．命题“若 x＜1，则x2-2x-3=0”的否命题为 ：“若 x＜1，则x2-2x-3≤0” D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x-1＜0， 则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1＞0．
命题q：∀x∈R，x2＞0，则（
A．命题p∨q是假命题
C）
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题
10．∃x∈R，x2-ax+1≤0为假命题， 则a的取值范围为（ A．（-2，2） B．[-2，2] C．（-∞，-2）∪（2，+∞） D．（-∞，-2]∪[2，+∞）
读作“ p且 q”. 真假性的判断：全真为真，一假必假
1、
pq
pq
2、
读作“ p或q”.
真假性的判断：全假为假，一真必真
1.4.1 全称量词
P21 思考：
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x>3； 不是命题
(2)2x+1是整数； 不是命题 (3)对所有的x∈R，x>3； 是假命题 (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
16．已知命题p:关于x的不等式x2+2ax-a≥0的解集是R;
命题q:-1＜a＜0，则命题p是q的（
A．充分非必要 B．必要非充分
B
）条件．
C．充分必要 D．既非充分又非必要
已知P x a 2 x a 2 , Q x x 6 x 8 0，
2
且x P是x Q的必要条件，求实数a的取值范围.
（ 1） x0 R, x0 0;
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ； 是真命题 （ 3）
假
假
真 真 假
练习
3、用符号“ ”与“ ”表达下列命 题： （2 1）存在这样的实数它的平方等于它本身。 ）实数都能写成小数形式； （ （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数； （4）存在实数x，x3＞x2；
（ 2）
2
0
（1）p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
0
探究:
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
x M,p(x)
2)某些平行四边形是菱形； 2 3)x0 R, x 0 1 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) x R, x 2 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了
全称命题.
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的 结论
特称命题 p : x0 M,p(x0 ) 它的否定
例5写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的；
2）p:x0 R,x02 +2x0 +2=0；
p ：存在两个等边三角形，它们不相似； 解：（1） 假
（ 2）
p ：x R,x2 +2x+2 0； 真
1．命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，则￢p是（C
它的否定p： x M，p（x）.
全称命题的否定是特称命题.
例3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; 2 (3) p:对任意 x Z , x 的个位数字不等于3.
解：
p :存在一个四边形，它的四个顶点不共圆; （3） p : x Z , x 的个位数字等于3.
8．下列命题正确的是（
B）
A．若p∧q为假，则p，q均为假命题
B．“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件