x
命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是
小结 含有一个量词的命题的否定
一般地，我们有： “x M , p( x )”的否定为“x M , p( x )” , “x M , p( x )”的否定为“x M , p( x )”。
结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
全 称 量 词 与 存 在 量 词
1.3
总结：
全称命题： （1）基本形式： x M , p( x) （2）意义：对任意x属于M，有p( x)成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值不成立，即为假命题 一假即假
特称命题： （1）基本形式： x0 M , p( x0 ) （2）意义：存在x0属于M，使p( x0 )成立 （3）真假性的判断： 只要有一个x值成立，即为真命题 一真即真
2 2
解：（1） ﹁p：存在两个等边三角形不相似 （2） ﹁p： ∀x∈R，x2+2x+2≠0
假命题 真命题
例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假： （3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.
（4）p：对所有的正实数a， a为正数且 a a; （5）q：存在一个实数x，使( x 1) 2 1或x 2 4.
思考
1.写出下列命题的否定并思考命题与命题的否定 在形式上有什么变化？
x M , p( x ) (1)所有的矩形都是平行四边形； x M , p( x ) x M , p( x )
否定:
x0 M , p( x0 )
x0 M , p( x0 )
x0 M , p( x0 )
全称命题与存在性命题的否定
全称命题： p: x∈A, p(x),
它的否定是： ￢p: 存在性命题： q:
x∈A, ￢p(x). x ∈A, q(x),
它的否定是：￢q: x∈A, ￢q(x).
全称命题的否定是存在性命题,
存在性命题的否定是全称命题.
例1. 写出下列命题的否定 (1) 所有能被3整除的数都是奇数; (2) x∈R， x2+1≥1; (3) 有的三角形是等边三角形; x∈R，x＞0; (4) (5) 奇函数的图象关于原点对称.
例4 已知p：函数
2
在
R上单调递减，q:函数 y lg(ax x a) 的定义域为R，如果﹁p∨q为假命题， 求实数a的取值范围.
a 1 ，即0 a 1 若p真q假，则有 0 a 2 a1 若p假q真，则有 ，即a 2 a 0或a 2 故a的取值范围是(0，1] ∪[2，+∞）
2. 已知命题 p：函数 y log0.5 ( x 2x a) 的定义域为
2
R ，命题 q：函数 y (7 3a) 是减函数。若 p 或 q 为真
+
练习：已知 p： x R, x 2 2 x 2 a 恒成立 q： x R ，使 x 2ax 2a 0 成 为假，求 a 的取值范围.
解：若p为真，∵x2-2x+2=(x-1)2+1≥1 ∴ a≤1 若q为真，则△=4a2-8a≥0，解得a≤0，或a≥2 ∵p∨q为真，p∧q为假 ∴p、q一真一假
（3） ﹁p： 存在实数m，使方程x2+x-m=0没有实根 真命题
（4）p : a R ，a 0或 a a； 真命题
（5）q：x R， ( x 1) 1且x 4； 假命题
2 2
练习
3.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则对 命题 p：∀n>m，an<am，q：∀n≥1，有 Sn≤0， 其中 n、m∈N ，若“p 且﹁q”是真命题，则 下列说法正确的是（ D ） A．数列{Sn} 是递减数列 B．数列{Sn} 是递增数列 C．数列{Sn} 是先减后增数列 D．数列{Sn} 是先增后减数列
例1 写出下列命题的否定: （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. （4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数; （2）﹁p：存在一个四边形的四个顶点不共圆; （3）﹁p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.
例1 写出下列命题的否定: （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. （4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数.
（4）﹁p：∀x∈R，x2+2x+2>0
解:(1)有些能被3整除的数不是奇数;
(2) x∈R,x2+1＜1; (3)所有的三角形都不是等边三角形; (4) x∈R,x≤0; (5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称.
例2. 写出下列命题的非，并判断其真假：
（1）p: x∈R, x2－x+
1 ≥0； 4
（2）q:所有的正方形都是矩形；
（3）r: x∈R, x2+2x+2≤0; （4）s: 至少有一个实数x，使x3+1=0
（5）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
（6）﹁p：所有的素数都不含三个正因数
例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假： （1）p：任意两个等边三角形都是相似的； （2）p：∃x0∈R，x02+2x0+2=0； （3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有 实根.
（4）p：对所有的正实数a， a为正数且 a a; （5）q：存在一个实数x，使( x 1) 1或x 4.
解：(1) ￢p:
x∈R, x2－x+
1 <0； 4 (假)
（2）￢q: 至少存在一个的正方形不是矩形；(假) (3)￢r: x∈R, x2+2x+2>0; (真) (4)￢s: x∈R，x3+1≠0. (假)
1.命题“不是每个人都会开车”的否定是（ ） A. 每个人都会开车 B. 所有人都不会开车 C. 有些人会开车 D. 存在一个人不会开车
