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窄带随机过程的一般概念与预备知识
一、正弦型信号的复数表示方法
简单的正弦型信号可以表示为
s(t ) a cos(0t ) a cos (t )
其中 (t ) 0t , a、、0都是实常数。
很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。
目录
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希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
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一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率 轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽 为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限 带过程。 在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同， 分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功 率谱密度 S X 具有以下特点
ˆ(t ) H s(t ) ˆ(t )是s(t)的希尔伯特变换，即 s 其虚部 s ˆ(t ) 给出的是一种非常重要的复信 （3）式 s (t ) s(t ) js 号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包 络。
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
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其中 sc t A(t ) cos t
ss t A(t ) sin t t 都是低频限带信号。可见， sc t 和 ss t 由于 A(t ) 、 也都是 低频限带信号，且sc t 与ss t 彼此正交。
s t ae
或
s t ae
ae e
j0t
j a ae 式中 称之为复包络。
比较以上两式可得，
s t Re s t
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将复指数函数
A 则
1 2

jt X e d 0
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s(t ) A A 2Re A Re 2 A

现在假定我们已经找到一个复信号 s (t )，它 的频谱 X () 满足
进一步得出s ˆ(t )




s d t
ˆ(t )和它的实部（即原来的 上式给出了解析信号 s (t )的虚部 s 实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert） 变换，记作
ˆ(t ) H s(t ) s
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A( 0 )
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下面我们再来求复指数函数se (t )的频谱 X e 与原来实信 号s(t)的频谱 X 之间的关系:
A( 0 ) 2 X A ( 0 )
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S X
0 c
0
0 c
0
0 c
0
0 c
若在上式中，c 0 则称X(t)为高频窄 带随机过程，简称窄带随机过程。
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归纳以上的讨论，可以得出几点结论： （1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时 1.s (t ) Re s (t )
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2 X , 0 2. X ( ) 0, 0 两个条件的复信号s (t ) 。 （2）可将此复信号表示成解析表达式
X () 2 X U
又 s (t ) X () 从而 s(t ) Re s (t )
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解析信号
ˆ(t ) s (t ) s(t ) js
1
A(t )e
j t
式中 j t 通常，将A(t ) 称为的复包络；将 e 0 称为复载频。
A(t ) A(t )e j t
e j0t A(t )e j0t
A(t ) A(t ) cos t jA(t )sin t sc t jss t 可见，复包络 A(t ) 也是低频限带信号。
S X , c S X 0, c
则称X(t)为低通过程。
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S X
c
0
c

若X(t)的功率谱密度满足 S X , 0 c 0 c S X 0, 其它 则称X(t)为带通过程。
1.s (t ) Re s (t ) 2 X , 0 2. X ( ) 0, 0
式中， X () 是该复信号 s (t ) 的频谱。
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三、高频窄带信号的复数表示方法 所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱 限制在载波频率 0附近的一个频率范围内，而且此频带范 围远小于载波频率。 常将窄带信号表示为 s (t ) A(t ) cos 0t t 展开可以得到 s(t ) sc t cos 0t ss t sin 0t
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二、任意信号的复数表示方法
设s(t)是任意实信号，具有频谱 X ，根据前面的
讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分 析，我们想寻找一种复信号 s (t ) ，它同时满足

ˆ t x

1

x t


d

1

x t


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d
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希尔伯特变换
下面给出希尔伯特变换的两个重要性质： （1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。
1 ˆ (t ) x(t ) x t
所示。
X
1 1 0 0 0 2 2
0
1 1 0 0 0 2 2

窄带信号频谱举例
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X H
0
0 0 0

s (t )
0 1 jt jt X e d X e d 2 0

X e jt d
利用 X X
1 jt jt s(t ) X e d X e d 2 0 0 1 jt A X e d 令 2 0
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对于式 s(t ) a cos(0t ) a cos (t ) 的正弦信号来说， 一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数 函数 s t 为 j t j0t j
Re se t s (t )
即，复指数函数的实部就是窄
带信号s(t)。
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下面再来求 se (t )的频谱 X e 。对下式两端作傅里叶变换，
A(t ) A(t )e j0t
并利用傅里叶变换的相乘性质及 e j0t 0 可得 X A( )
e 0



A( ') ' 0 d '
可见，X e 具有单边带频谱。
x(t )
1 h(t)= t H ( ) j sgn( )
ˆ (t ) x
希尔伯特变换等效为90°移相的线性滤波器
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1. 窄带信号的复解析表示 若s(t)为窄带信号，其振幅频谱 X 如下图所示，定义 窄带信号的解析信号 sH t 为
ˆ(t ) sH t s(t ) js ˆ(t ) H s(t ) 。从而 sH t 的振幅频谱 X H 如下页图 式中，s
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