增分点数列问题新情境，理解题意最关键新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力．[典例](2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于“1”的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个[方法演示]法一：列表法根据题意得，必有a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个．法二：列举法根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a1，a2，…，a8中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，…，a8中“0”的个数不少于“1”的个数．可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,10 1001,101010，共14个．(理)法三：分类计数法根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论：若前四项全为0，则后四项一定全为1，这样的“规范01数列”只有1个；若前四项有3个0，则前四项的排列有3种，后四项的排列也有3种，这样的“规范01数列”有3×3＝9个；若前四项有2个0，则前四项的排列有2种，后四项的排列也有2种，这样的“规范01数列”有2×2＝4个．故不同的“规范01数列”的总数为14种．(理)法四：填“空”格法根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中，a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”采用“0,1”填“空”的方式计数．具体如下：将“规范01数列”的八个项按照序号从小到大的方式以“空”格形式表示，再用“0,1”去填“空”格．可以得到一些不同的“规范01数列”．第7个“空”格填“1”，则其余5个“空”格只需选2个“空”格填“1”，然后再排除第2个和第3个“空”格连排“1”的情况，有C25－1＝9(种)；第7个“空”格填“0”，显然第6个“空”格只能填“1”，再对第5个“空”格分类讨论：若第5个“空”格填“0”，第4个“空”格只能填“1”的方法只有2种；若第5个“空”格填“1”，那么最后一个“1”可以任意排的方法只有3种．故不同的“规范01数列”共有9＋2＋3＝14种．答案：C[解题师说]可以从以下三个方面解决此类问题．(1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．新定义问题的解题思路为：①若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；②若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法．[应用体验]1．(2018·茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤解析：选A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．2．已知数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝[a n]＋1〈a n〉([a n]与〈a n〉分别表示a n的整数部分与小数部分)，则〈a2 018〉＝()A.3－1B.3－12 C.2－1 D.3＋13解析：选B因为a1＝3，a n＋1＝[a n]＋1〈a n〉，所以[a1]＝1，〈a1〉＝3－1，所以a2＝1＋13－1＝2＋3－12，a3＝2＋23－1＝4＋(3－1)，a4＝4＋13－1＝5＋3－12，a5＝5＋23－1＝7＋(3－1)，a6＝7＋13－1＝8＋3－12，…，〈a2n－1〉＝3－1，〈a2n〉＝3－12，所以〈a2 018〉＝3－1 2.一、选择题1．在数列{a n}中，若存在非零整数T，使得a m＋T＝a m对于任意的正整数n均成立，那么称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．若数列{x n}满足x n＋1＝|x n－x n－1|(n≥2，n∈N)，如x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{x n}的周期最小时，该数列的前2 018项的和是()A．672B．673C．1 344 D．1 346解析：选D要使周期最小，即使得第一项之后的各项中尽早出现1，又已知第二项不应是0，所以1,0,1,0不符合．所以1,1,0,1,1,0，…，周期为3.又2 018＝3×672＋2，所以S2 018＝1＋1＋2×672＝1 346.2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1(1－27)1－2＝381，解得a1＝3.3．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.72B.3733C.6766D.1011解析：选C 设从最下节往上的容量构成等差数列{a n }，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝4，a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝4，4a 1＋26d ＝3， 解得a 1＝9566，d ＝－766.中间为第五节，即a 5＝a 1＋4d ＝9566＋4×⎝⎛⎭⎫－766＝6766. 4．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12n B.32n 2＋12n C ．3n 2－2nD.92n 2－32n 解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3＝⎣⎡⎦⎤n 3＝k ，所以S 3n ＝0＋0＋1＋1＋13个＋2＋2＋23个＋…＋(n －1)＋(n －1)＋(n －1)3个＋n ＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .5．(2018·泉州模拟)若存在常数k (k ∈N *，k ≥2)，q ，d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋d ，nk∉N *，qa n，nk ∈N *，则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k ，q ，d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，则b 2 019＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 法一：∵{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，∴b 2 017＝0×b 2 016＝0，∴b 2 018＝b 2 017＋3＝3，∴b 2 019＝b 2 018＋3＝6.法二：∵{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，∴b 1＝1，b 2＝4，b 3＝7，b 4＝0×b 3＝0，b 5＝b 4＋3＝3，b 6＝b 5＋3＝6，b 7＝0×b 6＝0，……，∴当n ≥4时，{b n }是周期为3的周期数列．∴b 2 019＝b 6＝6.6．由n (n ≥2)个不同的数构成的数列a 1，a 2，…，a n 中，若1≤i <j ≤n 时，a j <a i (即后面的项a j 小于前面的项a i )，则称a i 与a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3,2,1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面没有比1小的项，因此，数列3,2,1的逆序数为2＋1＋0＝3，若a n ＝－2n ＋19(1≤n ≤100，n ∈N *)，则数列{a n }的逆序数为( )A ．2 525B ．5 050C ．2 475D ．4 950解析：选D 因为a n ＝－2n ＋19(1≤n ≤100，n ∈N *)，故{a n }为单调递减数列，所以逆序数为99＋98＋ (1)(99＋1)×992＝4 950. 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a 3＋a 4＋a 5＝27，定义x ＝[x ]＋〈x 〉，其中[x ]为实数x 的整数部分，〈x 〉为x 的小数部分，且0≤〈x 〉<1，记b n ＝〈a n a n ＋1S n〉，则数列{b n }的前n 项和T n 为( )A.4n 2＋2n －84n 2＋12n ＋8 B.5n 2＋2n －84n 2＋8n ＋8 C.4n 2＋3n －84n 2＋12n ＋8D.5n 2＋3n －84n 2＋12n ＋8解析：选D 由a 3＋a 4＋a 5＝27可得a 4＝9， 设{a n }的公差为d ，则3d ＝6，即d ＝2， 故a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n ，a n a n ＋1S n ＝(2n ＋1)(2n ＋3)n 2＋2n ＝4n 2＋8n ＋3n 2＋2n ＝4＋3n 2＋2n ， 当n ＝1时，b 1＝〈a 1a 2S 1〉＝〈4＋1〉＝0，当n ≥2时，易知0<3n 2＋2n <1，故b n ＝3n 2＋2n ＝32⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2(n ≥2)，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝0＋3212－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝3212＋13－1n ＋1－1n ＋2 ＝5n 2＋3n －84n 2＋12n ＋8(n ≥2)， 当n ＝1时也满足，故选D.8．已知在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B的中点，……，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点，设数列{a n }，{b n }满足：BN ―→＝AN ―→＋BN ―→(n ∈N *)，给出下列四个命题，其中假命题是( )A ．数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列B ．数列{a n ＋b n }是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (n >1，n ∈N *)既有最小值，又有最大值D ．在△ABC 中，若C ＝90°，CA ＝CB ，则|BN ―→|最小时，a n ＋b n ＝12解析：选C 由B AN ―→＝⎝⎛⎭⎫1－12n BA ―→＝⎝⎛⎭⎫1－12n (CA ―→－CB ―→)，B n B ―→＝12n CB ―→，BN ―→＝B n B ―→＋B AN ―→＝12n CB ―→＋⎝⎛⎭⎫1－12n (CA ―→－CB ―→)＝⎝⎛⎭⎫1－12n CA ―→＋⎝⎛⎭⎫12n －1－1CB ―→，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1，则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故A 正确；数列{a n ＋b n }中， a n ＋b n ＝12n ，a 1＋b 1＝12，即数列{a n ＋b n }是首项为12，公比为12的等比数列，故B 正确；当n >1时，a n b n ＝2n －12－2n ＝－1＋12－2n 单调递增，有最小值，无最大值，故C 错误；在△ABC 中， 若C ＝90°，CA ＝CB ，则|BN ―→|2＝(a 2n ＋b 2n )CA ―→2＋2a n BN ―→·CB ―→＝(a 2n ＋b 2n )CA ―→2，a 2n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎫1－12n2＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12＝5×⎝⎛⎭⎫12n 2－6×⎝⎛⎭⎫12n ＋2＝5⎝⎛⎭⎫12n －352＋15，当n ＝1时，a 2n ＋b 2n 取得最小值，即当|BN ―→|最小时，a n ＋b n ＝12，故D 正确．9．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2. 由题意可知，N >100，令n (n ＋1)2>100， 得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)， ∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意； 当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440；当t >5时，N >440，故选A.10.如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n}是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．11．设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，则称数列{a n }的极限为A .给出下列四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1； ④{1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n }， 其极限为2的共有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：选D 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0；当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限定义，即2不是数列{(－1)n ×2}的极限．对于②，|a n －2|＝⎪⎪11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)|－2＝12⎪⎪ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－4＝1＋n ＋12n ＋1>1，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列⎩⎨⎧11×3＋13×5＋15×7＋…＋⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的极限．对于③，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝⎛⎭⎫1－12n1－12－2＝22n<ε，得n >1－log 2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧1＋12＋122＋⎭⎬⎫123＋…＋12n －1的极限．对于④，|a n －2|＝|1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n －2|＝2×22＋3×23＋…＋n ×2n >1，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n }的极限．综上所述，极限为2的数列共有1个．12．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋2－x n ＋1<x n ＋1－x n 成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn 2－n 2n －1，若数列b 5，b 6，b 7，…，b n (n ≥5，n ∈N *)是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，35B.⎝⎛⎦⎤0，35 C.⎝⎛⎭⎫35，＋∞D.⎣⎡⎭⎫35，＋∞解析：选C 由数列b 5，b 6，b 7，…，b n (n ≥5，n ∈N *)是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22<b n ＋1(n ≥5)，即t －tn 2－n 2n ＋t －t (n ＋2)2－(n ＋2)2n ＋2<2t －t (n ＋1)2－(n ＋1)2n ， 即tn 2－n 2n ＋t (n ＋2)2－(n ＋2)2n ＋2>t (n ＋1)2－(n ＋1)2n ， 化简得t (n 2－4n )>n －2，由题知，当n ≥5时，t (n 2－4n )>n －2恒成立，所以t >n －2n 2－4n＝1(n －2)－4n －2恒成立． 令n －2＝x (x ≥3，x ∈N *)，设y ＝x －4x (x ≥3，x ∈N *)． 易知函数y ＝x －4x 在[3，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝3时，y 取得最小值53，所以当x ＝3时，1y ＝1x －4x 取得最大值35，即当n ≥5时，1(n －2)－4n －2的最大值为35， 则t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫35，＋∞. 二、填空题13．在数列{}a n 中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{}a n 为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中判断正确的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{}a n 是等比数列，且公比q ＝1时，{}a n 不是等差比数列，所以③错误； 数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确． 答案：①④14．(2018·兰州模拟)对于正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与平面直角坐标系的y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2a n n ＋1的前10项和等于__________．解析：y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ＝[n －(n ＋1)x ]x n －1，当x ＝2时，y ＝2n (1－2)＝－2n ，所以曲线在点(2，－2n )处的切线的斜率k ＝(－n －2)×2n －1，切线方程为y －(－2n )＝(－n －2)×2n－1×(x －2)，当x ＝0时，y ＝(n ＋1)×2n ，所以a n ＝(n ＋1)×2n ，所以log 2a nn ＋1＝log 22n ＝n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2a n n ＋1是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项的和为1＋102×10＝55.答案：5515．(2018·昆明质检)在平面直角坐标系上，有一点列P 1，P 2，…，P n ，…(n ∈N *)，设点P n 的坐标为(n ，a n )，其中a n ＝2n (n ∈N *)，过点P n ，P n ＋1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为b n ，设S n 表示数列{b n }的前n 项和，则S 5＝__________.解析：由题意得，过点P n ，P n ＋1的直线为y －2nx －n ＝2n ＋1－2n(n ＋1)－n，即2x ＋n (n ＋1)y －2(2n ＋1)＝0.令y ＝0，得x ＝2n ＋1，令x ＝0，得y ＝2(2n ＋1)n (n ＋1)，所以b n ＝12×(2n ＋1)×2(2n ＋1)n (n ＋1)＝4＋1n (n ＋1)＝4＋1n －1n ＋1，所以S 5＝4×5＋1－12＋12－13＋…＋15－16＝1256.答案：125616．定义：max{a ，b }表示实数a ，b 中的较大者．已知数列{a n }满足a 1＝a (a >0)，a 2＝1，a n ＋2＝2max{a n ＋1，2}a n(n ∈N *)，若a 2 019＝2a ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019的值为________．解析：由题意知，a 3＝2max{1，2}a 1＝4a ，a 4＝2max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a ，2a 2，若4a ≥2，即a ≤2，则a 4＝8a ，a 5＝2max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫8a ，2a 3＝4，a 6＝2max{4，2}a 4＝a ，a 7＝1，……，故数列{a n }是周期为5的数列，故a 2 019＝a 403×5＋4＝a 4＝8a ＝2a (a >0)，所以a ＝2，S 2 019＝403×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝403×(2＋1＋2＋4＋4)＋2＋1＋2＋4＝5 248.若4a <2，即a >2，则a 4＝4，a 5＝2max{4，2}a 3＝2a ，a 6＝2max{2a ，2}a 4＝a ，a 7＝1，……，故数列{a n }是周期为5的数列，故a 2 019＝a 403×5＋4＝a 4＝4＝2a (a >0)，因为a >2，所以a ＝2不合题意．综上，S 2 019＝5 248.答案：5 248。