西南交通大学研究生2016－2017 学年第(1)学期考试试卷答案
课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150分钟 1、设总体X (0,1)N :，12n ,,,X X X L 是来自正态的简单随机样本，其中
ξ=
，3
2
1
2
4
1)3i i n i
i n
X X η==-=∑∑（试推断统计量ξ和η的分布。

解：
=
(1)
X t n ξ=
-:（5分）
3
23
2
1
1
224
4
1)33
(3-3)-3i
i i i n
n
i
i
i i X
n
X F n X
X
n ====-=
~∑∑∑∑（，（）
（5分）
2、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为
()
1(;)0x e
x f x x μθμθθ
μ
--⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
其中00θμ>>，为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，(1)试求参数,μθ的极大似然估计量；(2) 试求参数,μθ的矩估计量.
解：
1
121
()
1(,,,)1
(,,),
n
i i n n
x i i n
i L X X X f x e
x μθ
θμθμμ
θ
=-
-=∑==
>∏L 极大似然函数为：（2分）
121
1
ln (,,,)ln (),
n
n i
i i L X X X n x x θμθμμθ
==--
->∑L （1分）
21ln (,)1(),
n
i
i i L n x x μθμμθθθ=∂-=+->∂∑（2分）
ln (,)0,
i L n
x θμμμθ
∂=>>∂（2分）
12(1)(2)(),,...,:...n x x x x x x ≤≤≤的顺序统计值为
(1)1ˆmin i i n
X X μ
≤≤==,()X θ∧
１＝Ｘ－,（2分） 1
()x u
EX xf x dx xe
dx μ
θ
θμθ
--
+∞
+∞
-∞
===+⎰
⎰
（2分）
2
2
2
21
()2()
x u
EX x f x dx x e
dx
μ
θ
θ
μθθμ--
+∞
+∞
-∞
===++⎰
⎰
（2分）
1222121211212()ˆˆn i
i X X n X θθθθθθθθ=⎧+=⎪
⎨++=⎪⎩⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∑解方程得矩估计为：
－（2
分）
3.抛一枚硬币，设正面向上的概率为θ，提出如下假设： 011
3::2
4
H H θθ=
=
如果检验规则为：将该硬币抛掷5次，若正面向上的次数多余3次，则拒绝0H 。

（1）求该检验犯第一类错误的概率。

（2）求该检验犯第二类错误的概率。

（3）在硬币抛掷次数不变的情况下，为使检验的显著性水平0.05α=，应如何修改检验规则。

解：
(1)44
55
516(3|)=C (1)22
P X θθθθ>=-+= (2)5114
5223332553(3|)=(1)C (1)
4C (1)C (1)
P X θθθθθθθθ≤=-+--+-
1144455513(|)=C (1)C (1)0.052
m m m P X m θθθθθθ++->=-+-+=L （）
4. （15分）为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据，得出以下结果：
（1） 估计截距0β和斜率系数1β及其标准误，并进行t 检验；（2）回归直线未解
释的价格变差部分是多少？（3）对0β和1β分别建立95%的置信区间。

解：（1）
；
12
ˆ74.1+2.0615.9
ˆ=
13.42
102
yy xx l l n βσ
-⨯=≈--
2ˆyy xx S l b l =-剩，2ˆˆxx xy S b l bl ==回
22
2
1ˆ[],ˆ,xx xx
x Da
n l Db l σσ=+=
2
ˆ[2
a t n α±-（）
2
ˆ2
b t n α±-（（）
5.简要回答下列问题：1、判别分析和聚类分析有何区别？
2、在单因素方差分析中，进行总变量平方和分解的目的和意义是什么？
22
31,58,147,112,410.5,
i i i i i i x y x y x y =====∑∑∑∑∑()()14710 3.1 5.832.8
xy
i i i i l
x x y y x y nx y =--=-=-⨯⨯=-∑∑2
222()11210 3.115.9
xx i i l x x x nx =-=-=-⨯=∑∑2
222()410.510 5.874.1
yy i i l y y y ny =-=-=-⨯=∑∑32.8ˆˆˆ2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l b a
y bx l -==≈-=-≈+⨯≈
6.从协方差阵相同的两个二元正态总体中，各自抽取了容量1230,25n n ==的样
本，算的_
_
_^127.2 6.0 1.040.68,2.3 3.10.680.58x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∑= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

现取一个样本 6.42.9x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
试用距离判别法判别x 的归属。

从协方差阵相同的两个二元正态总体中，根据过去收集的资料样本，已估计出
_
_
_^122422,6223x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∑= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

现取一个样本35x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 试用距离判别法判别x 的归属。

7. （13分）设12344
(,,,)~(0,)T X X X X X N =∑，其协方差矩阵为 1
11
1ρ
ρρρρ
ρρρρρ
ρ
ρ
⎛⎫ ⎪
⎪∑= ⎪
⎪⎝⎭
其中01ρ<≤ (1) 试从Σ出发求X 的第一总体主成分；
(2) 试问当ρ取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。

8. （10分）表中给出了五个样品两两间的距离，根据系统聚类法
(1)按最短距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？聚类时的距离分别 是多少？(2)按最长距离法，第一步如何聚类？第二步如何聚类？
121341123114013,
11
111011111
1222
2111222x x x x Z X X X λρρρρλρρ
λρρρλρρρρλλλλρ
λρ
ρρρλρρλρ
ρλρρρρλλ--------==+--------===-----⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪---- ⎪
⎪= ⎪---- ⎪ ⎪
⎪----⎝⎭⎝⎭'⎛⎫
⎪⎝⎭
=++1234、(1)由得特征根为解所对应的方程得所对应的单位特征向量为故得第一主成分4
1
11
2
1395%4
0.9541
0.9333
X λρ
λλλλρ++=
≥+++⨯-≥
≈234
(2)第一个主成分的贡献率为
得。