a(t /2)a(t /2)ejt 0 t
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
T/2
@x(t)ej2tt
(4.2.5) (4.2.6)
(4.2.7)
A
13
一阶循环统计量—循环均值
A
14
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数
对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以 写成
(4.1.1)
i1
i1
N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数
循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即
N
N
E{ x(ti)}E{ x(tinT0)}
(4.1.2)
i1
i1
阶循环平稳过程的定义：
若随机过程 从一阶到 阶的各阶时变统计量都存
在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的 循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同）， 则称该随机过程为 阶循环平稳过程。
陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢 复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶 循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障 诊断领域具有重要意义
A
7
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
6
4.1 循环平稳信号的定义
具有周期变化的统计量称为循环统计量。 循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪80年代 中期。
对二阶循环统计量研究最有影响的是 W.A.Gardner，他提出的谱相关理论和冗余概念。 近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生， 循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。
A
23
功率谱密度函数
循环谱切片图
A
24
功率谱密度函数
循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的 信息具有谱相关特性。 对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身 相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率 的2倍。 而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。 利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可 以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。
A
25
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
A
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4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析
4.3.1 调频信号的解调分析 4.3.2 多载波调频信号的解调 4.3.3 多调制源调幅信号的解调 4.3.4 多载波调幅信号的解调 4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息和混频信 息的规律
A
8
4.2 信号的循环统计量
4.2.1 一阶循环统计量 4.2.2 一阶循环统计量—循环均值 4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数 4.2.4 功率谱密度函数
A
9
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。 循环统计量的一般表达式为
Sx (f) R x ()ej2fd
（4.2.17）
A
20
功率谱密度函数
为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模 型
x (t) a (t)c o s (2f0 t)
其中， a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件
a(t) 0 t
a(t /2)a(t /2) 0 t
a(t)ej2t 0 t
A
4
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
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5
4.1 循环平稳信号的定义
严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期
时变的联合概率密度函数
N
N
p(x,ti) p(x,tinT0)
A2 2
cos(2
f0 )
=0;
A
co
s
(
2
2
fc ) cos(2
f0 )
= f0;
R
x
(
)
A2 2
cos(2
fc )
1 4
e
j 2
1
A2 2
cos(2
fc )
= 2 f0; = 2 fc;
A 4
e j 2
cos(2
f0 )
= (2 fc f0 );
A2 16
T2
x(t)x*(t)ej2t t
（4.2.13）
A
16
二阶循环统计量—循环自相关函数
幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真
分析
x ( t ) ( 1 A c o s ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c t )
（4.2.14）
1 2
c
os(2
fc ) 1
R x(t;)R x (e j(2 /T 0 )m tR x (e j2 t
m
m
(4.2.10)
A
15
二阶循环统计量—循环自相关函数
式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数
Rx ()T 10 T T 00//22Rx(t;)ej2tdt
将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得
A
3
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
(2) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有相等的关系，则说明此循环 频率是单独的频率分量。在表示频率域信息的切片图中， 一般情况下，可以清楚地看到此单独的频率信息，没有调 制边频带出现。一般在表示循环频率域信息的切片图中， 可以看到边频带现象，这是低频信号对高频信号所产生的 混频效应。
某空气分离压缩机组(简称空分机)结构简图
高速轴转频213.00Hz， 啮合频率为
1倍=6815.75Hz， 2倍=13631.5Hz， 3倍=20447.25Hz
西安交通大学机械工程学院研究生学位课程
现代信号处理技术及应用
第四章 循环平稳信号分析
A
1
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
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引言
在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用， 最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数 与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、 四阶等高阶统计量。 在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量 随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循 环平稳信号。 具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环 平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。 雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。
（4.2.11）
Rx (
)1 T0
TT 00//22N li m 2N 11nN Nx(tnT0)x*(tnT0)ej2tdt
1 N
lim N (2N1)T0nN
将上式改写成
TT 00//22x(tnT0)x*(tnT0（4).e 2 .1j22）tdt
Rx()T li m T1
T2 x(t)x*(t)ej2tdt
e
j 2
= (2 fc 2 f0 );
A
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二阶循环统计量—循环自相关函数
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二阶循环统计量—循环自相关函数
循环自相关函数三维图及其切片图