关键词 : 循环平稳信号 ;调幅信号 ;调频信号 中图分类号 : TN911 文献标识码 :A
Analysis of the Cyclostationary Properties of AM & FM Signals
LIU Zheng , HUANG Zhi2tao , ZHOU Yi2yu
( School of Electronic Science and Engineering of NUDT , Changsha 410073 , China)
∫ Mαx =
1 T0
T0/ 2 Mx ( t) e - j2παt d t
- T0/ 2
(4)
将 (2) 式代入上式 ,并令 T = (2 N + 1) T0 ,得
∑∫ Mαx =
N
lim
N →∞
(2
n
1 + 1)
T0 n = - N
T0/ 2 x ( t +
- T0/ 2
nT0) e- j2παt d t
τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t + τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t - τ/ 2) ]}
= [1 + m2 Rα(τ) ] ·[cos(4πf0 t) + cos (2πf0τ) ]/ 2 可见信号的自相关函数同样是时间 t 的周期函数 , 且周期为
1/ (2f0) ,同时[1 + m2 Rα(τ) ] ≠0 ,故其中还包含了非零的直 流分量 ,即在循环频率 α = 0 处存在谱线 。对照 (10) 式求出
时满足以上两个条件 ,则信号既是一阶循环平稳 ,又是二阶
循环平稳 。
第1期
调幅调频信号的循环平稳特性分析
·23 ·
5 平稳噪声的循环平稳特性分析
取调制系数值为 011 ,采样率为 fs = 215f0 ,其它条件与实验 1 相同 ,分别作其一阶和二阶循环平稳特性 ,如图 2 所示 。
号 ; n ( t) ———零均值白噪声 。对信号取均值 ,有
Mx ( t) = E{ x ( t) } = αe j(2πf0 t +θ)
(1)
设 T0 ( = 1/ f0) 为复正弦信号的周期 , 由白噪声的遍历性可
得 ,对于任意给定时刻 t , 以 T0 为周期的采样序列 { x ( t +
nT0) } 亦具有遍历性 ,因此用样本均值估计统计均值 ,则有
信号的循环相关函数为
Rαx (τ) =
(1/ 2) [1 + m2 Rα(τ) ] cos (2πf0τ) α = 0 (1/ 4) [1 + m2 Rα(τ) ] α = ±2f0 0 其它
(14) 由(14) 式可知 ,信号存在非零的循环频率 α = ±2f0 使得 Rαx (τ) ≠0 ,因此是二阶循环平稳的 。
x ( t) = (1 + mα( t) ) cos (2πf0 t)
(10)
其中 α( t) ———一个零均值实低通平稳随机过程 ; m ———
调制系数 ; f0 ———载波频率 。显然信号均值
E{ x ( t) } = cos (2πf0 t)
(11)
为一个周期函数 ,因此 x ( t) 是一阶循环平稳信号 。并且在其
傅里叶展开中只有 α = ±f0 处的系数不为零 ,并容易得到其 循环均值
α
1/ 2 α = ±f0
Mx = 0 其它
(12)
对信号取二阶自相关函数 ,有
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
= E{ [1 + mα( t + τ/ 2 ][1 + mα( t -
∫ =
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t) e- j2παt d t =△〈 x ( t) e- j2παt 〉t
- T/ 2
(5)
式中 〈·〉t ———时间平均 ,将时变均值的 α频率分量 Mαx 称
为信号 x ( t) 的循环均值 。上式表明 , 循环均值相当于将信号
收稿日期 :2001 - 01 - 11 修订日期 :2001 - 05 - 29 基金项目 :国防预研基金及国防科技大学基础研究基金资助课题 (JC00 - 04 - 020) 作者简介 :柳征 (1978 - ) ,男 ,博士研究生 ,主要研究方向为雷达信号处理 ,无源探测定位理论与技术 。
α = 2f0 (17)
α = - 2f0 其它
∫ Ψ(ω)
△
=
=
lim
N →∞
1 T
T/ 2
exp{ j<( t) ω} d t
- T/ 2
(18)
Ψτ ———<( t + τ/ 2) 和 <( t - τ/ 2) 的联合特征函数
∫ Ψτ(ω1 , ω2)
△
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2
exp{ j ·
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
(6)
若相关函数关于时间 t 也具有周期为 T0 的周期性 ,则采用与
一阶相类似的方法进行分析 ,对其作傅里叶级数展开 ,得到
∞
∑ Rαx ( t ;τ) =
Rαx (τ) e j2παt
(7)
m=- ∞
式中 α = m/ T0 ,且对应傅里叶系数为
由以上分析可以得到结论 :形如 (12) 式的调幅信号 , 在 保证调制信号为平稳随机过程的情况下 , 既是一阶平稳的 , 又是二阶平稳的 ,对应的循环频率分别为 ±f0 和 ±2f0 ,且这 种特性与信号的调制深度是无关的 。
4 调频信号的循环平稳特性
调频 (调相) 信号模型为
∫t
x ( t) = cos[2πf0 t + <( t) ] = cos[2πf0 t + m z ( u) d u ] 0
环频率才刻画了循环平稳性 。
同理还可以将循环平稳的概念扩展到其它的统计特性
参数上 ,例如将信号的循环自相关函数作傅里叶变换 ,可以
得到循环谱密度的概念 ,即
∫ Sαx ( f ) =
∞ -∞
Rαx (τ)
e-
j2πft dτ
(9)
有关深入的讨论可参考文献[1 ] 。示
∫ Rαx (τ)
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt d t
- T/ 2
=〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(8)
式中 系数 Rαx (τ) ———频率为α的循环自相关强度 ,为τ的
0 其它 Rαx (τ) =〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(1/ 2) Re{ Ψτ(1 , - 1) e j2πf0τ} 0
(1/ 4) Ψτ(1 ,1) =
(1/ 4) Ψτ3 (1 ,1)
0 式中 Ψ ———平稳过程 <( t) 的特征函数
摘 要 : 介绍了循环平稳信号的基本概念 ,对调幅和调频信号的循环平稳特性进行了详细的理论分析 ,计算机 仿真实验也验证了分析得到的结果 ,即在一定条件下 ,调幅调频信号具有一阶和二阶循环平稳特性 。仿真同时说 明了利用信号的循环平稳特性具有较好抑制平稳噪声或 (和) 干扰的能力 。这为实现基于民用调幅 、调频广播信号 的隐身目标探测系统提供了一种较好的信号处理方案 ,具有极大的应用前景 。
N
∑ Mx ( t)
=
E{ x ( t + nT0) }
=
lim
N →∞
2
1 n+
1n
=
-
x
N
(
t
+
nT0)
(2)
可见信号均值是周期为 T0 的周期函数 ,可以将其作傅里叶 级数展开
∞
∑ Mx ( t) =
Mαxe j2παt
(3)
m=- ∞
其中 α = m/ T0 ,为傅里叶展开频率 ,对应傅里叶系数为
·22 ·
系统工程与电子技术
2002 年
x ( t) 的频谱左移频率α后取时间平均 。因此 ,只要信号 x(1(3t) 的功率谱中存在 α频率的谱线 ,则 Mαx ≠0 ,这时称信号是一 阶循环平稳的 ,同时这也是一阶循环平稳的判据 。
同理可以定义信号的二阶循环平稳性 。考虑非平稳信号
x ( t) 的 (时变) 相关函数 (对称形式) 定义为
函数 ,称为循环 (自) 相关函数 。
因此若信号在频率 α处的循环相关函数 Rαx (τ) ≠0 , 就
称该信号是二阶循环平稳的 , 且 α称为信号的循环频率 。一
个循环平稳信号的信号频率可能有多个值 ,当循环频率为零
时 ,循环自相关函数退化为信号的自相关函数 。因此假如 R0x (τ) 存在 ,而 Rαx (τ) = 0 , Πα ≠0 ,则信号为平稳信号 ; 若 至少存在一个非零 α, 使得 Rαx (τ) ≠0 ,则信号是循环平稳 的 ,所以零循环频率刻画了信号的平稳部分 ,只有非零的循
Keywords : Cyclostationary signals ; AM signals ; FM signals
1 引 言
非平稳信号中有一类比较特殊的信号 ,其统计特性随时 间呈周期性的变化 。这类信号广泛存在于雷达 、通信 、遥测 等系统中 。例如雷达系统中 ,由于天线的匀速旋转可能形成 回波信号统计量的周期变化 ;在通信系统中 ,调幅 、调频 、调 相等信号是对周期性载波的参数调制 ,一般也具有循环平稳 特性 ,而对于平稳噪声而言 ,其统计特性常常是非时变的 ,因 此对信号作循环平稳特性分析 ,可以收到抑制噪声的效果 , 对于噪声背景下的信号探测 、同步和分解有着重要的意义 。