数列知识点归纳及常考题型 一、 知识要点1．数列的定义： 叫做数列。

2．数列中的每一个数都叫做这个数列的 ，其中第n 项记作n a ； 数列 ,,,,,321n a a a a 简记作{n a }。

3．数列的前n 项和n na a a a S ++++= 321与通项n a 的关系是： 。

4．数列的单调性与最值：数列{n a }是递增数列，则 ；数列{n a }是递减数列，则 。

5．等差数列与等比数列性质对比二、 典型例题和基本方法【题型一】根据递推关系求通项公式1． 形如)(1n f a a n n +=+型的数列求通项公式可用累加法；)(1n f a a n n =-用累乘法：)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；例1． 在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭，则n a = 2． 由含n S 与通项n a 的递推关系式求n a ，可用)2(,1≥-=-n S S a n n n ；与数列各项的和有关的式子求n a ，可写出1-n 时的关系式，两式相减得)2(≥n a n 。

例2．设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．求数列{}n a 的通项；例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(1)nn n ba b S -=-．（Ⅰ）证明：当2b =时，}2{1-⋅-n n n a 是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式．3． 形如d a a n n +=-1及q a a n n 1-=型的递推式求通项公式直接用等差数列、等比数列通项公式；或者把一个数列问题转化成基本数列求解 例4．数列{}n a 中，11=a ，231+=-n n a a ，=na例5．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．证明数列{}n a n -是等比数列.例6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．【题型二】数列求和1．公式法求和： 等差、等比数列求和；)1(211+=∑=n n k nk ； )12)(1(6112++=∑=n n n k nk ；213)]1(21[+=∑=n n k n k 例7．已知数列{}n a 的通项n n a n -=2，求其前n 项和n S .例8．已知数列))}(1({log *2N n a n∈-为等差数列，且9,331==a a ，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）证明111112312<-++-+-+nn a a a a a a2．倒序相加法、错位相减法、分组转化法、裂项相消法求和裂项求和：111)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）例9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．例10．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．例11．等差数列{}n a 的各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b （2）证明：12111n S S S +++34<．练习：设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+， ,3,2,1=n （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =， ,3,2,1=n ，证明：132ni i T =<∑【题型三】等差数列、等比数列性质的应用例12．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A.5B.4C. 3D.2例13．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ (A)（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19例14．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a __________.例15．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8例16．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ A ）A ．100 B. 101 C.200 D.201 练习：1．等差数列的前n 项和为30，前2n 项和为100，则它的前3n 项和为( )A 130B 170C 210D 260 2．}{n a 为等差数列，n s 是前n 项和且===k s s s s k 则,,783（ ）A 2B 11C 4D 123．等差数列{}n a 的公差是21，145100=S ，则99531a a a a ++++ 的值为 4．设{}n a 是公差为2-的等差数列，如果5097741=++++a a a a ，那么=++++99963a a a a5．三个数nm 1,1,1成等差数列，又22,1,n m 成等比数列，则n m n m ++22等于6．等差数列{}n a 中，93a a =，公差0<d ，则使得前n 项和S n 取得最大值的n 的值是7．}{},{n n b a 是等差数列且前n 项和分别为n n T S ,且995321n n S a n T n b +==-则 8．已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 21y x =+上；数列{}n b 中，点(,)n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。

（1） 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2) 若(()(n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数）为偶数）问是否存在k N *∈，使(27)4()f k f k +=成立，若存在，求出k 值，若不存在，说明理由；(3)记12111())(1)(1)ng n b b b =+++，求()g n 的最小值【题型四】数列的综合应用例17．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且 *),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+例18．已知数列{}n a和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b =（*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列．（I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；（III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++．例19． 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （d >0），因此，历年所交纳的储务金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （r >0），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1（1＋r ）n －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2（1＋r ）n －2，……，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n ＝A n ＋B n ，其中｛A n ｝是一个等比数列，｛B n ｝是一个等差数列.自我检测1．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．273.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于A 80B 30C 26D 164．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．85．已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 （ ）A. 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6．等差数列｛n a ｝中，2511=a ，从第10项开始大于1，则d 的取值范围是（ ） A ．(+∞,758) B ．(758,∞-) C ．［253,758) D ．(253,758] 7．已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4 +2a 3a 5 +a 4a 6=25，那么a 3 + a 5 等于（ ）A ． 5B ．10C ．15D ．20{}()141231)12()14(31)(12.8222232221----++++-=n nn nn n n n D CB Aa a a a S n a 等于，则项和为的前等比数列 1615.1613.1312.1415.,,0}{.91042931931D C B A a a a a a a a a a d a n ）的值为（成等比数列，则，且的公差已知等差数列++++≠ 10．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．7511．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a __________.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． 14．已知等差数列的前n 项和S n =-n n 6312+则它的前 项和最大。