高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。

答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。

答案：n n a 32⨯=3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式。

4.n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）5、设数列{}n a 满足2*12333()3n n a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式（作差法）2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例1.已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a ann =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a .（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a .练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

答案：121+=-n n a2、若数列}{n a 中，11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。

答案：1)32(23-⨯-=n n a6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题.在数列{}n a 中，231=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .解：原递推式可化为b n k a b kn a n n +-+=++-)1()(21 比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12-=n n b b所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为21. 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+-，故96)21(9-+⋅=n a n n .练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a(2)若n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1) ①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以1+n q .即：q q a q p qa n n n n 111+⋅=++, 令nn n qa b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解， 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a 。

答案：121++=n n n a2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。

答案：n n n a 23371⋅-⋅=- 题型二根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） 5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3. 7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（） 8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a ab +=，则99100a a +=. 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21.求证：{nS 1}是等差数列； B ）证明数列等比例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ ⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； 题型四：求数列的前n 项和 基本方法：A ）公式法，B ）分组求和法1、求数列n {223}n +-的前n 项和n S .2.)12()1(7531--+⋯++-+-=n S nn3.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15B ．12C ．－12D ．－154.求数列1，2+21，3+41，4+81，…，121-+n n 5.已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn .C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111；例1、求和：S =1+n++++++++++ΛΛ32113211211 例2、求和：nn +++++++++11341231121Λ.D ）倒序相加法，例、设221)(xx x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ΛΛ E ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值； 例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．题型六：总结规律题 1．已知数列{}n a 满足),2(525*11N n n a a a n n n ∈≥--=--，且{}n a 前2014项的和为403，则数列{}1+⋅n n a a 的前2014项的和为？2．数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为？ 常见练习1．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）A ．3B ．2±C ．．22、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（） A ．12B ．14C ．16D ．184．{a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（）A ．5B ．6C ．7D ．85.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθL L 前100项之和为0，则θ的值为（）()3k k Z ππ±∈2()3k k Z ππ±∈22()3k k Z ππ±∈以上的答案均不对6.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=() （A ）14（B ）21（C ）28（D ）358.设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为() （A ）15(B)37(C)27（D ）649.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（） A ．2B ．4C ．215 D ．217 10.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）611．已知}{n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=L （） A ．32(12)3n -- B ．16(14)n --C ．16(12)n --D ．32(14)3n --12.若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+=()（A ）30（B ）29（C ）-30（D ）-2913.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L （）(21)n n -2(1)n +2n 2(1)n -巳知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为()A ．B ．C ．D ．15．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－，则实数t 的值为( )．A ．4B ．516．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7+a 10=9，S 14﹣S 3=77，则使S n 取得最小值时n 的值为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 717．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，公差d<0，且a 2013(a 2012＋a 2013)<0，则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4027B ．4026C ．4025D ．402418．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<319、由正数构成的等比数列{a n }，若132423249a a a a a a ++=，则23a a +=．20．已知数列{}n a 的前n 项和为2,n S n =某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为．21、给定(1)log (2)n n a n +=+（n ∈N*），定义乘积12k a a a ⋅⋅⋅L 为整数的k （k ∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为．22．设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和为n S ，满足34150S S +=，则d 的取值范围为．23．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+，则10a =24.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=________.25.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =______. 26、已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，(n N *∈)（1）求1ni i a =∑；（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。