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数列必会常见题型归纳

数列必会基础题型
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列) A )根据基本量求解(方程的思想)
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;
2、等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S .
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,
中间两数之和为36,求这四个数. 5在等差数列{a n }中,
(1)已知a 15=10,a 45=90,求a 60; (2)已知S 12=84,S 20=460,求S 28; (3)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8.
6、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
7、已知△ABC 中,三内角A 、B 、C 的度数成等差数列,边a 、b 、c 依次成等比数列.求证:△ABC 是等边三角形.
B )根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、
{}n a 的前n 项和,327++=n n T S n n ,则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
==5
935,95S S
a a 则( ) 4、等差数列{}n a ,{}n
b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n
T n =+,则n n
a b =( )
5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S ..
6、已知等比数列{a n }中,a 1·a 9=64,a 3+a 7=20,则a 11= .
题型二:求数列通项公式: (A )给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=; ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3,求数列{}n a 的通项公式
B )给出递推公式求通项公式
⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+,可利用迭加法或迭代法;
1
1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
1.已知数列{}n a 满足1
41
,212
11-+==+n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ,1
2123-+⋅=-n n n a a ,求数列}{n a 的通项公式 (2)、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+,可利用迭乘法.
1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。

3.已知31=a ,n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ,求n a 。

(3)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 1. 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+,求数列{}n a 的通项公式。

C )构造新数列待定系数法
1. 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式。

2.在数列
{}
n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项
n a =______________
3.已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式; 4.已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。

题型三:证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=N n n
S b n
n .求证:数列{}n b 是等差数列.
例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=2
1
.求证:{n S 1}
是等差数列; B )证明数列等比
1、设{a n }是等差数列,b n =n
a ⎪⎭

⎝⎛21,求证:数列{b n }是等比数列;
2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()21n
n n ba b S -=-
⑴证明:当2b =时,{}
12n n a n --⋅是等比数列;⑵求{}n a 的通项公式
3、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶若数列{}n b 满足12111
*44
...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
题型四:求数列的前n 项和 基本方法: 1)公式法,
d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()
1(11q q
q a q na S n n 公比含字母时一
定要讨论
例:1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S
2. 等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( ) A .9 B .10 C .11 D .12
3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S 2)裂项相消法,数列的常见拆项有:
1111
()()n n k k n n k
=-++;
n n n n -+=++11
1;
例1、求和:S =1+
n
++++++++++ 32113211211
2数列{a n }的通项公式是a n =1
1++n n ,若前n 项之和为10,则项数n 为( )
3、求和:
n
n +++++++++11
341231121 . 3)错位相减法,
例、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S
例:1.求和2
1123n n S x x nx -=+++
+
2.求和:n n a
n a a a S ++++=
32321 3.设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,
3521a b +=,5313a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S .
题型五:数列单调性最值问题
基础知识:在等差数列中,求S n 的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值.
⑴ a 1> 0,d <0时,解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+00
1
n n
a a 可解得S n 达到最 值时n 的值.
⑵ a 1<0,d>0时,解不等式组 ⎪⎩



可解得S n 达到最小值时n 的值.
基本题型练习:
1、数列{}n a 中,492-=n a n ,当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时,
=n . 2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;
3、数列{}n a 中,12832
+-=n n a n ,求n a 取最小值时n 的值. 4、数列{}n a 中,22+-=n n a n ,求数列{}n a 的最大项和最小项.
5、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*
n ∈N .
(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*
n ∈N ,求a 的
取值范围.。

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