第二章 随机变量及其概率分布§2.1 一维离散型随机变量一、基本概念★知识点精讲1.一维离散型随机变量的分布及分布律（1）离散型随机变量：若随机变量X 只取有限多个或可列无限多个值，则称X 为离散型随机变量。
（2）分布律： ,2,1,}{===k p x X P k k或（3）性质：① ,2,1,0=≥k p k ②∑∞==11k k p2.常用的离散型分布 （1）0-1分布),1(p B分布律 ：X 0 1 P p -1 p 其中 p 为事件A 出现的概率，0<p<1. （2）二项分布),(p n B在n 重伯努利试验中，每次试验事件A 出现的概率为p ，X 表示在n 次试验中事件A 出现的次数，X 的分布律为：n k p p C k X P k n k kn,,2,1,0,)1(}{ =-==- 当n 充足大时，随机变量X 也服从np =λ的泊松分布。
（3）泊松分布)(λP 分布律为： ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλ3.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为则)(X f Y =的概率分布为：（1）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 互不相等时，Y 的概率分布为：（2）当),2,1)(( ==i x f y i i 的各值i y 不是互不相等时，应把相等的值分别合并，并相对应地将其概率相加。
例如j i y y =，则Y 的概率分布为：★ 题型归纳及解题技巧例1.设随机变量X则k=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4 解：选Ｄ。
因为∑==11k k p ，故11.03.02.0=+++k ，得4.0=k 。
例2．设离散型随机变量X 的分布律为 （关于离散型随机变量概率求法）则P{-1<X ≤1}=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解：选AP{-1<X ≤1}=P{X=1}=0.3例3.已知随机变量X 的分布律为则A.0.2B.0.7C.0.55D.0.8 解：选Ｂ。
例4A ．P (X =3)=0B ．P (X =0)=0C ．P (X>-1)=lD ．P (X<4)=l 解：选A 。
其他选项准确的结果应为：B ．P (X =0)=0.2；C ．P (X>-1)=0.9 D ．P (X<4)=0.6 例5．掷一枚均匀的骰子，记X 为出现的点数，则P {2<X <5}=________. 解：XP {2<X 例6.将一枚骰子连掷两次，以X 表示两次出现的最小点数，求X 的分布律。
（关于求离散型随机变量的分布律） 解：一枚骰子连掷两次，所有可能情况为：（1,1），（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6） （2,1），（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6） （3,1），（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6） （4,1），（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6） （5,1），（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6） （6,1），（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）以X 表示两次出现的最小点数，X 的所有可能取值为{1,2,3,4,5,6} X例7.抛一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为32，连续抛掷8次，以X 表示出现正面的次数，求X 的分布律。
（关于求离散型随机变量的分布律）解：8次抛硬币，每次出现正面的概率为32，能够看成是8次伯努利试验，X 表示出现正面的次数，则X 服从n=8,p=32二项分布，故X 的分布律为：8,,1,0,)31()32(}{88 ===-k C k X P k k k例8．设随机变量X ～B(3，0.4)，则P{X≥1}=( ) （关于二项分布） A.0.352 B.0.432 C.0.784 D.0.936解：)4.0,3(~B X ，则3.2,1,0,)6.0()4.0(}{33===-k C k X P k k k ，784.0216.01)4.01(1}0{1}1{3=-=--==-=≥X P X P例9.在时间[0，T]内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P (X =4)=3P (X =3)，则在时间[0，T]内至少有一辆汽车通过的概率为_________. （关于泊松分布）解：若)(~λP X ，则X 的分布律为 ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλP (X =4)=3P (X =3)，λλ-e!44＝λλ-e !333，则12=λ则在时间[0，T]内至少有一辆汽车通过的概率为12}0{1-==-e X P 。
例10.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则P{X=2}=____（关于泊松分布）解：)3(~P X ，则X 的分布律为 ,2,1,0,!3}{3===-k e k k X P k则33229!23}2{--===e e X P 。
例11.设袋中有依次标着-2,-1,1,2,3,3数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求：(1)X 的概率分布;(2)Y =X 2的概率分布. （关于离散型随机变量函数的分布） 解：(1)X 的分布律为(2)Y 的分布律为例12.设随机变量X记Y =X 2，则P {Y =4}=_________.（关于离散型随机变量函数的分布） 解：P {Y =4}= P {X =-2}+P{X=2}=0.1+0.3=0.4§2.2分布函数★知识点精讲 1.分布函数定义随机变量X 的分布函数+∞<<-∞≤=x x X P x F },{ˆ)( 性质：（1）1)(0≤≤x F（2）)(,)()(2121x x x F x F <≤（3）0)(,1)(=-∞=+∞F F x x （4）)()0(x F x F =+（右连续） 2.用分布函数表示区间上的概率 （1）)(}{b F b X P =≤（2）)()(}{a F b F b X a P -=≤<，其中b a < （3）)(1}{b F b X P -=> 3.离散型随机变量的分布函数∑≤=xx kk px F )(★ 题型归纳及解题技巧例1.下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）（分布函数的性质）A ．⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(1其他x x FB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<-=.1,1;10,;0,1)(2x x x x x FC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x FD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,2;10,;00,0)(4x x x x F解：选C 。
可用排除法。
由分布函数的取值范围，可排除B ，D 。
由分布函数的单调不减性质，可排除A 。
例2.设随机变量X~B （1，0.8）（二项分布），则X 的分布函数为___________. （离散型随机变量的分布函数） 解：)8.0,1(~B X ，X 的分布律为X 0 1P 0.2 0.8则X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,2.00,0)(x x x x F例3. 设随机变量X 的分布律为求X 的分布函数。
（离散型随机变量的分布函数）解： X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,2.01,0)(x x x x x F例4.设随机变量X 的分布函数为F (x )，已知F (2)=0.5，F （-3）=0.1，则P{X ≤-3}= P {-3<X ≤2}=_____，P{X>2}= （利用分布函数求概率）解：P{X ≤-3}= F(-3)=0.1P {-3<X ≤2}=F(2)-F(-3)=0.4 P{X>2} =1- F(2)=0.5例5.设随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x b a x F ,arctan )(求：(1)常数a,b;(2)P {-1<X ≤1} (求分布函数所含未知数) 解：(1)利用分布函数的性质0)(,1)(=-∞=+∞F F12arctan lim )(=⋅+=+=+∞+∞→πb a x b a F x 02arctan lim )(=⋅-=+=-∞-∞→πb a x b a F x可得21=a ,π1=b ，+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 121)(π (2) P {-1<X ≤1}=F(1)-F(-1)=21§2.3 一维连续型随机变量一、基本概念1.连续型随机变量的分布及概率密度 ★知识点精讲（1）概率密度)(,)(+∞<<-∞x x f （2）性质①0)(≥x f ②1)(=⎰+∞∞-dx x f③}{}{)(}{21212121x x x P x x x P dx x f x x x P x x <<=≤≤==≤<⎰（对于任意的x ，0}{==x X P ）④x x f x F ),()(='为)(x f 的连续点， 其中分布函数⎰∞-=≤=xdx x f x X P x F )(}{)(1x 2x★ 题型归纳及解题技巧例1.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) （密度函数性质） A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21x D. f (x )=||-e x解： 选Ｃ。
A ．0<--x e 不满足密度函数性质 因为1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项121221000||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x x x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx e例2.设X 是连续型随机变量，则P {X =5}=_________.（密度函数性质） 解因为X 连续型随机变量，在任意点的概率都为0，故P {X =5}=0.例3.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧≤≤,,0,c x 0,x 242其他则常数c=___________.（求连续型随机变量密度函数中的未知数） 解：因为1)(=⎰+∞∞-dx x f2118824)(30302=⇒====⎰⎰+∞∞-c c xdx x dx x f c c： 例4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) （求连续型随机变量密度函数中的未知数） 解：因为1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f例5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )（连续型随机变量的概率计算）解： }210{≤≤X P412)(2102210210====⎰⎰x xdx dx x f例6. 设某种晶体管的寿命X （以小时计）的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>.100x ,0,100x ,x 1002（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？（连续型随机变量的概率计算） 解：设A={晶体管使用时间超过150小时} B={晶体管使用时间不到200小时}AB={晶体管使用时间超过150小时不到200小时} （1）所求概率为P{B|A}。