高二数学 选修2-3
2.1.1离散型随机变量
在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道概率是 描述某个随机事件发生可能性大小的量.
同时我们还研究了一些的随机事件的概率,下面我 们作一个简单的回顾.
1.定义：
随机事件： 在条件S下可能发生也可能不发 生的事件叫随机事件。
必然事件： 在条件S下必然要发生的事件叫 必然事件。
3.概率的基本性质
1)0 P( A) 1
2)如果事件A与事件B互斥，则P( AUB) P( A) P(B) 3)如果事件A与事件B对立，则P( A) 1 P(B)
4、古典概型的两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
计算古典概型的公式：
例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可 能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随 机变量。其取值范围是{0,1,2,3,4}.
利用随机变量可以表达一些事件.X = 0表示:抽出0件次品" X = 4表示“:抽出4件次品”
X < 3表示:抽出的次品小于3 件.
练习:写出下列各随机变量的取值范围:
在这种对应关系下，数字是随着试验结果的变化而变化的。
象这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X,Y L L 表示.
思考1： 随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结 果映为实数，函数把实数映为实数。
在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域。
问题2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10次品的 100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？ 若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？
Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果
问题3：把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？ 能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上
在问题1、2、3中，我们注确:这定种了对一个应对事应实关上系是，一使得个每映一射个。试
验结果都用一个确定的数字来表示。
出现1点 出现2点
1
0件次品
2
1件次品
0
正面朝上
0
1
…… 出现6点
…… 6
…… 4件次品
…… 4
反面朝上
1
在以上的各例说明，在随机试验中，我们可以确定一个对 应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。
（5）互斥事件
若 A B 为不可能事件（ A I B ），那么称事
件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一 次试验中都不会同时发生。
（6）互为对立事件
若 A B 为不可能事件， A U B 为必然事件，那么
称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事 件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
公式：P( A)
A包含基本事件的个数 基本事件的总数
5.几何概型：
• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型.
几何概型的公式:
P(
A)
构成事件A 的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
新课引入:
问题1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少? 若用X表示出现的点数，X有哪些取值？ X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡
片的号数X．
{1、2、3、···、10}
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白
球数X．
{0、1、2、3}
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X．
{2、3、···、12}
(4)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．{1、2、3……}
0，不合格品 (寿命<1000小时)
Y= 1，合格品 (寿命≥1000小时)
0，一等品 (寿命>1500小时)
Y= 1，二等品 ຫໍສະໝຸດ 1000<寿命<1500小时)
例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ； (2)某 网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ；(3)一 天内的温度为 ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分， 未击中目标得0分，用 表示该射手在一次射击中的得分。
离散型随机变量： 所有取值可以一一列出的随机变量，就称为离散
型随机变量。
问题6: 某林场树木最高达30m,那么这个林场的树木高 度的情况有那些?是否为随机变量？
则此林场树木的高度是 一个随机变量。
(0，30]内的一切值
可以取某个区间内的一切值
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这 样的随机变量叫做连续型随机变量.
所以更便于研究，为了我们研究的可操作性，有些问题往往可 以考虑从不同的角度去构造随机变量。
思考6：
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品，寿命在 1000到1500小时之间的为二等品，寿命在1000小时以下的为不 合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变 量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随 机变量？
不可能事件： 在条件S下不可能发生的事件 叫不可能事件。
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C…表示。
2.事件的关系和运算：
（1）包含关系 B A（或A B) 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则
事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A 包含于事件B）.
（2）相等关系 A=B
思考4： 电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？
X取(0,+∞)内的一切值,故X并非离散性随机变量.
思考5：
若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过1000小时，并如下定义一 个随机变量Y， Y是一个离散型随机变量吗？
0，寿命<1000小时 Y= 1，寿命≥1000小时
与电灯泡的寿命X相比，随机变量Y的构造显然比X要简单，它 只取0和1两个不同的值，是一个离散型随即机变量。
一般地，对事件A与事件B，若 B A且A B ，
那么称事件A与事件B相等.
（3）并事件（和事件） AU B（或A B）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件）.
（4）交事件（积事件） A I B（或AB）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）.