随机变量及其分布知识点整理
、离散型随机变量的分布列
般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为x-i , x 2, , x i , , Xn , X 取每一个值X j (i 1,2, ,n)的概率 P(X x ) p ，则称以下表格
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1) P > 0,i 1,2, , n (2) p 1
p 2 p n 1 1.两点分布
如果随机变量X 的分布列为
则称X 服从两点分布，并称 p=P(X=1)为成功概率•
2.超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取
n 件，其中恰有X 件次品，则事件 x k 发生的概率为:
其中 m min M , n ，且n N, M N,n ,M,N N 。

注：超几何分布的模型是不放回抽样
二、条件概率
般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A)鵲为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条
件概率• 0 < P(B | A) < 1
如果 B 和 C 互斥，那么 P[(BUC)|A] P(B|A) P(C|A)
三、相互独立事件
设A , B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即P(AB) P(A)P(B)),则称事件
A 与事件
B 相互独立。

即A 、B 相互独立 P(AB) P(A)P(B)
般地，如果事件 A,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这
n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率 P(X
k) k n k C M C N M k C N
0,1,2,3,…，m
的积，即P(AA..A) P(A)P(A2)...P(A n).
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响•
四、n次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验•
在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，P(AA2 A n) P(A)P(A2) P(AJ
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注：独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生
n次独立重复试验的公式：
一般地，在r次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P(X k) C：p k(1 p)n k C：p k q nk,k 0,1,2,…，n.(其中q 1 p)，而称p 为成功概率•
五、二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k k n k
P(X k) C n p (1 p) ，k 0,1,2, ,n
此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率
六、离散随机变量的均值(数学期望)
则称E(X) Xg X2P2 X i P i X n P n
为X的数学期望或均值，简称为期望•它反映了离散型随机变量取值的平均水平
则EY aE(X) b，即E(aX b) aE(X) b
2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E(X)=1 p 0 (1 p) p
即若X服从两点分布，则E(X) p
3•若X ~ B(n, p)，则E(X) np
七、离散型随机变量取值的方差和标准差
般地，若离散型随机变量x的概率分布列为
则称DX (X i E(X))2P I (X2 E(X))2P2 (X n E(X))2p n为随机变量X的方差. 并称.一DX 随机变量X的标准差.
1•若X服从两点分布，则D(X) P(1 p)
2•若X ~ B(n, p)，则D(X) np(1 p)
3. D(aX b) a2D(X)。