用导数研究三次函数
一、知识点解析
1、 定义:
定义1、 形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数, 称为”三次函数”。
定义2、 三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ,
我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（
,叫做三次函数导函数的判别式。
2、 三次函数图象与性质的探究:
1、 单调性
一般地, 当032≤-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在
R 上是单调函数; 当032>-ac b 时, 三次函数
)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、 对称中心
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称, 且对称中
心为点))3(,3(a
b f a b --, 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上, 且又
是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。
3、 三次方程根的问题
( 1) 当032≤-=∆ac b 时, 由于不等式0)(≥'x f 恒成立, 函数是单调
递增的, 因此原方程仅有一个实根。
( 2) 当△=032>-ac b 时, 由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x , 不妨设21x x <, 可知, ))(,(11x f x 为函数的极大值点, ))(,(22x f x 为极
小值点, 且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增, 在[]
21,x x 上单调递减。
此时:
①若0)()(21>⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同
侧, 图象均与x 轴只有一个交点, 因此原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异
侧, 图象与x 轴必有三个交点, 因此原方程有三个不等实根。
③若0)()(21=⋅x f x f , 即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0, 因此, 原方程有三个实根, 其中两个相等。
4、极值点问题
若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x)), 则称函数f(x)在点x 0处取得极大值( 或极小值) , 称点x 0为极大值点( 或极小值点) 。
当0∆>时, 三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。
当0∆≤时, 三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、 最值问题。
函数
若, 且
, 则: ()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =; 。
6、 过三次函数上一点的切线问题
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点,
则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图
象的对称中心, 则过点P 有且只有一条切线; 若点P 不是三次函数
图象的对称中心, 则过点P 有两条不同的切线。
7、 过三次函数外一点的切线问题
设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外, 则
过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
可能有一条、 两条或三条。
( 具体情况分析不作要求)
8、 32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表:
二、经典题型
一、 考查函数的奇偶性和单调性 032>-ac b 032≤-ac b 图像
0)()(21<⋅x f x f
0)()(21=⋅x f x f 0)()(21>⋅x f x f
()0
f x =根的个
数
三实根 两实根 一实根 一实根 与x 轴
的交点 三交点 两交点 一交点 一交点
单调性 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数., 在),(21x x 上为减函数 在R 上为增函
数
极值 有两个极值, 一个极大值1()f x , 一个极小值2()f x
无极值
例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数, 且在R上是增
函数, 则( )
A、 p=0,q=0
B、 p∈R,q=0
C、 p≤0,q=0
D、 p≥0,q=0
解析由奇函数以及增函数的定义易知选D
二、考查函数图象的对称性
例2 函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于( ) 对称
A、直线x=1
B、直线y=x
C、点(1,-2)
D、原点
解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
成中心对称知选C
例3、 ( 课标全国
, 16)
像关于直线x=-2对称, ____________.
解析: x=-2对称,
解得a=8, b=5,
大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题例 4 已知函数f(x)=ax
3+bx2+cx+d
( )
A、 b∈(-∞,0)
B、 b∈(0,1)
C、 b∈(1,2)
D、 b∈(2,+ ∞) x
解析显然f(0)=d=0, 由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0, 又
f(x)= ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a<0, 故选A
引申试确定的a,b,c,d符号( 答: a>0,b<0,c>0,d=0) 例5( 课标全国Ⅱ卷, 10) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 下列
结论中错误的是( )
α∈R,f(xα)=0
( B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
( C) 若xα是f(x)的极小值点, 则f(x)在区间( -∞,xα) 单调
递减
( D) 若x0是f( x) 的极值点,
解析: 由三次函数值域为R知f(x)=0有解, A正确; 由性质
可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点,
则f(x)
在( -∞,x
1)上为增函数, , 在( x上为
增函数, 故C错。
D正确。
选C。
四、考查单调区间、极值、最值的问题
例6( 全国卷Ⅱ文) 已知函数。
( Ⅰ) 设a=2, 求f( x) 的单调区间;
( Ⅱ) 设f( x) 在区间( 2,3) 中至少有一个极值点, 求a的取
值范围。
解析: ( 2) 在( 2, 3) 内有极值, 即
( 2, 3) 内有一个零点, 即可求出
a的取值范围。
五、考查交点个数问题
例7 ( 陕西文20)
( I)
;
( II)
, 直线y=m．．．．
个不同的交点
．．．．．．,
求m的取值范围.
解
,
当时, 由解得或, 由解得
单调减区间为
( 2) 因为
在处取得极大值, 因此
由( 1)
1, 在
-3.
,
点评:
（1）本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题, 涉及图象交。