P 471.按定义证明：（1）65lim 6;x x x→+∞+= (2)22lim(610)2;x x x →-+= (3) 225lim 1;1x x x →∞-=-(4)2lim 0;x -→= (5)00lim cos cos .x x x x →=证: （1） 不妨设0,x >则6556.x x x +-=0,ε∀>取5,M ε=则当x M >时，有6556,x x x ε+-=<故65lim6.x x x→+∞+=(2)22|(610)2||68||4||2|.x x x x x x -+-=-+=--限制|2|1,x -<则|4||(2)2||2|23,x x x -=--≤-+<进而有2|(610)2|3|2|.x x x -+-<-0,min{1,},:0|2|3x x εεδδ∀>∃=∀<-<有2|(610)2|.x x ε-+-<故得证.(3)22222254488||2,1||.11||2x x x x x x x x ->-=<=<---当时80,max{2,},||M x M εε∀>∃=>当时有 2251,1x x ε--<-故得证. (4) 当021x <-<时有12,x <<进而20(2)(2)4(2),x x x ==≤+-<-对于0,ε∀>取,4εδ=当02x δ<-<时，有0,ε<所以2lim 0.x -→=(5)00001|cos cos |sin sin ||,222x x x x x x x x +--=-≤- (1)0,ε∀>取,δε=当00||x x δ<-<时,由(1)得00|cos cos |||,x x x x ε-≤-<即00lim cos cos .x x x x →=2．根据定义2叙述0lim ().x x f x A →≠解：设()f x 在0x 的某个空心邻域0(;)U x δ'内有定义，A 为定数.若存在某个正数00,ε>对任意正数(),δδ'<存在x '满足00||,x x '<-使得00|()()|,f x f x ε'-≥则称0lim ().x x f x A →≠3．设0lim ().→=x x f x A 证明00lim ().→+=h f x h A证 因为0lim (),→=x x f x A 由定义0,0,εδ∀>∃>当00||δ<-<x x 时，有|()|,ε-<f x A 故当0|0|||,h h δ<-=<时有0|()|,ε+-<f x h A 即得00lim ().→+=h f x h A4．证明：若0lim (),x x f x A →=则0lim |()|||.x x f x A →=当且仅当A 为何值时反之也成立？证：（1）0lim (),x x f x A →=由定义00,0,0||,x x εδε∀>∃>∀<-<有|()|,f x A ε-<进而||()|||||()|,f x A f x A ε-≤-<即0lim |()|||.x x f x A →=（2）当0A =时，|()|||()||||,f x A f x A -=-所以当||()|||||()|,f x A f x A εε-<⇔-<故当lim |()|||x x f x A →=时有0lim ().x x f x A →=但当0lim |()|||,x x f x A →=且0A ≠时，0lim ()x x f x →不一定存在。

例设()sgn ,f x x =则1,0|()|,0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩0lim |()|1,x f x →=但0lim ()x f x →不存在。

综上所述，当且仅当0A =时反之也成立。

5．证明定理3.1:0lim ()lim ()lim ().x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔== 6.讨论下列函数在0x →时的极限或左、右极限：||(1)();x f x x =(2)()[],f x x = (2)22,0()0,01,0xx f x x x x ⎧>⎪==⎨+<⎪⎩.解：(1)当0x >时,||()1,x f x x ==所以(00) 1.f +=当0x <时,||()1,x xf x x x-===-所以(00) 1.f -=-由此得0lim ()x f x →不存在.(2)当01x <<时,()[]0,f x x ==所以(00)0.f +=当10x -<<时,()1,f x =-所以 (00) 1.f -=-由此得0lim ()x f x →不存在.(3) 当0x >时,()2,xf x =由|()1|21xf x ε-=-<可得ln(1).ln 2x ε+<所以对任意0,ε>取ln(1),2εδ+=当0x δ<<时有 |()1|,f x ε-<所以(00) 1.f +=当0x <时,2()1,f x x =+由22|()1||(1)1|f x x x ε-=+-=<可得x -<即,x <所以对任意0,ε>取δ=当0x δ-<<时有|()1|,f x ε-<所以(00) 1.f -=由此可知0lim () 1.x f x →=7.设lim (),x f x A →+∞=证明:01lim.x f A x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭证:因lim (),x f x A →+∞=由定义,对于任意0,ε>存在0,M >当x M >时有|()|.f x A ε-<取1,M δ=则当10x M <<时,有1,M x>进而 1,f A x ε⎛⎫-< ⎪⎝⎭所以01lim .x f A x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭P 531. 求下列极限:22(1)lim 2(sin cos );x x x x π→-- 2201(2)lim ;21x x x x →---2211(3)lim ;21x x x x →--- 3230(1)(13)(4)lim ;2x x x x x →-+-+ 11(5)lim (,1n m x x n m x →--为正整数);4(6)x →0(7)0);x a →> 702090(36)(85)(8)lim .(51)x x x x →+∞+-- 解 (1) 2222lim 2(sin cos )2sin cos 21.2224x x x x πππππ→⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) 220101lim 1.21001x x x x →--==---- (3) 22111(1)(1)12lim lim lim .21(1)(21)213x x x x x x x x x x x x →→→--++===---++ (4)32232000(1)(13)(3)3lim lim lim 3.2(12)12x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+++ (5)1212121211(1)(1)1lim lim lim.1(1)(1)1n n n n n mm m m m x x x x x x x x x n x x x x x x m--------→→→--++++++===--++++++ (6)44.333x x x →→====+(7)0001.2x x x a→→→=== (8)7020702070209090906538(36)(85)38lim lim .(51)515x x x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⋅⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 利用迫敛性求极限：cos (1)lim;x x x x →-∞-2sin (2)lim .2x x xx →+∞-解 (1) 1cos 1,x -≤≤1cos 1,x -≤-≤1cos 1,x x x x -≤-≤+当0x <时,1cos 1,x x x x x x x+--≤≤ 而11lim lim 1,x x x x x x →-∞→-∞+-==由迫敛性定理, cos lim 1.x x x x →-∞-= (2)当2x >时22sin 0,11x x xx x <≤--而2lim0,1x x x →+∞=-由迫敛性定理,2sin lim 0,2x x x x →+∞=-进而2sin lim 0.2x x x x →+∞=- 3.设0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==证明:(1)lim[()()];x x f x g x A B →±=±(2)lim[()()];x x f x g x AB →=()(3)lim()x x f x Ag x B→=(当0B ≠时). 证: (2)|()()||(()()())(())||()()()||()||()||()||||()|,f xg x AB f x g x Ag x Ag x AB f x g x Ag x Ag x AB f x A g x A g x B -=-+-≤-+-=≤-+- 因0lim ()x x g x →存在,所以()g x 在0x 的某个邻域内有界,即存在0M >及10,δ>使得001|()|,(;).g x M x U x δ≤∈因0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==根据极限定义,对于任何0,ε>存在230,0,δδ>>当020||x x δ<-<时有|()|,f x A ε-<当030||x x δ<-<时有|()|.g x B ε-<取123min{,,},δδδδ=当00||x x δ<-<时有|()()|||(||),f x g x AB M A M A εεε-<+=+所以0lim ()().x x f x g x AB →=4.设1011001011(),0,0,,m m m mnn n na xa x a x a f x ab m n b x b x b x b ----++++=≠≠≤++++试求lim ().x f x →+∞5. 设0()0,lim (),:limx x x x f x f x A →→>==证明证: 因()0,f x >所以0lim ()0.x x f x A →=≥lim (),x x f x A →=由函数极限定义,对于任何0,ε>存在0,δ>当00||x x δ<-<时有|()|.f x Aε-<(1)若0,A =则当00||x x δ<-<时有()(),fx A f x ε-=<进而有=<即0limx x→=(2)若0,A ≠则当00||x x δ<-<时有1|n n A-=<<++即0limx x →=6.证明0lim 1(01).xx a a →=<<证 对于任何01,ε<<因01a <<,当0x >时有1.x a ε<+由1,xa ε-<得ln(1)ln ,x a ε-<ln(1),ln x aε-<所以取1ln(1)0,ln aεδ-=>当10x δ<<时,有11.x a εε-<<+ 当0x <时有1.x a ε-<由1xa ε<+得ln ln(1),x a ε<+ln(1),ln x aε+>所以取2ln(1)0,ln aεδ+=->当20x δ-<<时有11.x a εε-<<+ 令12min{,},δδδ=则当0||x δ<<时有11,x a εε-<<+所以0lim 1(01).xx a a →=<<7.设0lim (),lim ().x x x x f x A g x B →→==(1)若在某00()U x 上有()(),f x g x <问是否有?A B <为什么? (2)证明:若,A B >则在某00()U x 上有()().f x g x >解 (1)不一定.例如设()0,f x =2(),g x x =则在0(0)U 上恒有()(),f x g x <但lim ()lim ()0.x x f x g x →→==(2) 对00,2A Bε-=>因00lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==存在10,δ>使得在001(;)U x δ上有00(),A f x A εε-<<+3();22A B A Bf x +-<<存在20,δ>在002(;)U x δ上有00(),B g x B εε-<<+3().22B A A Bg x -+<< 取12min{,},δδδ=则在00(;)U x δ上有()().f x g x >P 571.叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim cos x x →+∞不存在。