哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来 表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。
a i bi a j b j a m bm
只要指标仍是哑标且取值范围和相同 自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也 可以换标
x a ij x j
' i
x ak j x j
' k
合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指标符号的关 键，应用时应该遵循如下原则：
指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因 为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在 公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来 合理选择和及时更换指标的名称。
张量运算-张量代数
相等 若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张 量为例：
Tij S ij
和、差 若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个 同维同阶张量，则和（或差）的分量是两个张量的对 应分量之和（或差）。以二阶张量为例：
i
每个自由指标代表一个方向性：当它取值1或2或3时，分 别代表该方向性在x或y或z方向上的分量。当i分别取1,2,3 时，给出三个分量方程。 若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具 有两个或多个方向性
ij
( i , j 1, 2, 3)
两个自由指标，表示应力是二阶张量。
哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两 个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。
2 1 u1 u 2 u 3 G u2 1 2 x 2 x1 x 2 x3 2 1 u1 u 2 u 3 G u3 1 2 x 3 x1 x 2 x 3
考虑三维空间中的张量函数
Tmn x1 , x 2 , x 3
其每个分量都有三个偏导数：
Tmn xi
( i , m , n 1, 2, 3)
可以更简洁地把偏导数记为
T m n , i iTmn
Tmn
2
( i , m , n 1, 2, 3)
排在逗号或偏导号后面的指标称为导数指标。 如果连续函数高阶导数与求导顺序无关的性质
把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读 者自己判别下式中不等号的原因：
a a a ai ai a
2 1 2 2 2 3
2 i
（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干 项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整 体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中， 所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同 名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法 与已换名的各项同时求同一方向上的分量。 （3）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式 的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。表达式中不同 项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字， 因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。
12 23 31
1 E 1 E 1 E
12 ; 23 ; 31 ;
以指标符号表示下列运动方程
2 1 G u1 1 2 x1 u1 u 2 u 3 x1 x 2 x3
2 u1 ; X 1 2 t 2 u2 ; X 2 2 t 2 u3 ; X 3 2 t
3
ab
i 1
3
i i
引进对哑标的求和约定代替叠加号
a b a i bi
i 1
除哑标外，在表达式或方程的某33项中非成对出现（即出现 一次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。 例如，采用哑标后，线性变换写成
x a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1 j x j ;
Tijklm Aijk Blm
其中指标的顺序不能任意调换。 缩并 若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就 失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张 量 Tiji 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：
S j Tiji
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
' 1
x a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 a 2 j x j ;
' 2
x a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x3 a 3 j x j ;
' 3
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x a ij x j
' i
这里 是哑标， j 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某 项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
a b a1b1 a 2 b2 a 3 b3
Tmn , ij
xi x j

Tmn
2
x j xi
Tmn , ji
作业
以指标符号表示虎克定律
11 22 33
1 E 1 E 1 E [ 11 ( 22 33 )]; [ 22 ( 33 11 )]; [ 33 ( 11 22 )];
c k a k bk
反之，若要把曾记为 a i 和 b i 的两个矢量的分量逐个地两 两相乘，则指标应及时地换成异名，写成
ai b j
这样当下标 如果误写为
i
和 j 轮流取1，2，3时，共得到九个数。
a i bi a1b1 a 2 b2 a 3b3
则成为矢量点积 再如： b a b a b c d c d c d a b c d a1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 i i j j 这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的 遍历求和过程。如果误写成 a i bi c i d i ，则 i 变成自由指标， 失去了遍历求和的意义。
(( i , j 1, 2, 3)
其中 是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的i 和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方 向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空 间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以 取值为1或2或3。
指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长 度和其分量之间的关系
ds
2
d x1 d x 2 d x3
2 2
2
d s d xi d xi
2
多变量函数的全微分可写成 f df d x i i 1, 2, ..., n xi 多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
S
Tij S ij Aij
S ij 1 2
Tij T ji ;
Aij
1
T 2
ij
T ji
上两式的运算也称为对称化和反对称化。
球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张 量 P 和偏斜张量 D 之和：
S ij Pij D ij
球形张量
Pij ij ;
当式中的i和j相互独立地分别1，2，3取时可以得到9种排列， 于是用一个符号 ij 就全面地表示了应力张量的9个分量。通常 约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指 标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希 腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的 指标不再用括号加注取值范围。
例如， Ri Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 表的是截面上应力的分解方向。
j
代
内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积 表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例 如：
S jkm Aijk Bim
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
Rijl Aijk Blk S jkm
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后 张量B的第一指标缩并的结果，记为 A B 。其指标符号为：
A B = Aijk B km
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。
转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 T （指 标符号为 Tij ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新 张量T * （指标符号为 T ji ），称为张量 T 的转置张量。 若转置张量与原张量相等，即 T ji Tij ，则为对称张量。 若转置张量等于原张量的负值，即 T ji ，则为反对 Tij 称张量。 加法分解 任意二阶张量 T 均可唯一地分解成对称张量 和反对称张量A之和：
abc abc
i i i i i i 1
3
i
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。 例如方程
ci a i b i d i
i
是自由指标
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
指标符号与张量运算
为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。 这里作一简介—指标符号与求和约定
张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。 例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中 都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示， 指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量 可以记为：