i i i
矢量的点乘 矢量的叉乘
(v • w ) = ∑∑ δij vi w j = ∑ vi wi
i j i
[v × w ] = [{∑ δ j v j } × {∑ δk wk }]
j k
= ∑ ∑ [ δ j × δk ]v j wk
j k
δ1 v1 w1
δ2 v2 w2
δ3 v3 w3
32
= ∑ ∑ ∑ ε ijk δi v j wk
4
流体力学基本概念
欧拉方法
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
v = v (r , t )
5
流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
1 df f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) 1! dx
三维：
x = x0
2 3 1 1 2 d f 3 d f + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ... 2 3 2! dx 3! dx
又记为：div v
37
矢量场的旋度（rotation )
定义：
∂ (∇ × v ) = ( ∑ δ j ) × ( ∑ δk v k ) ∂x j j k = =
[δi × δ j ] = ∑ ε ijk δk
k =1
30
3
矢量以分量方式展开
矢量以分量展开
v = δ1v1 + δ2 v2 + δ3v3 = ∑ δ i vi
i =1
3
矢量的量值
3
2 2 v = v = v12 + v2 + v3 =
vi2 ∑
i =1
31
以分量表示的矢量运算
矢量加减法
[v ± w ] = ∑ δi vi ± ∑ δi wi = ∑ δi (vi ± wi )
18
场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母）
τ =张量（加黑的希腊字母）
19
矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v =v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
20
矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
34
矢量的微分运算
哈密尔顿(Hamilton)算符（nabla/del）
直角坐标系中的表达
∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = δ1 + δ2 + δ3 = ∑ δi ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 i
35
标量场的梯度（gradient ）
定义：
∂s ∂s ∂s ∂s ∇s = δ1 + δ2 + δ3 = ∑ δi ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi i
1 ∂f ∂f ∂f f ( x, y , z ) = f ( x0 , y0 , z0 ) + ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) 1! ∂x ∂y ∂z ( x0 , y0 , z0 ) 1 ∂ ∂ ∂ + ∑ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) ∂x ∂y ∂z j = 2 j!
1 i = j δ ij = 0 i ≠ j
交错单位量 εijk
ε ijk
ijk = 123,231,312 1 = − 1 ijk = 321,132,213 0 others
ε ijk = (i − j )( j − k )(k − i )
1 2
27
δij 和 εijk 的关系
∞ j
6
流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
dv v ( M ′, t + ∆t ) − v ( M , t ) = lim ∆t dt ∆t →0 dv v ( M ′, t + ∆t ) − v ( M ′, t ) v ( M ′, t ) − v ( M , t ) = lim + lim ∆t dt ∆t →0 ∆t ∆t →0
δij和εijk的关系
∑∑ ε
j =1 k =1
3
3
ijk
ε hjk =2δ ih
∑ε
k =1 =1
3
ijk
ε mnk =δ imδ jn − δ inδ jm
三阶行列式 的分量表示法
a11 a31 a12 a32 a23 = ∑∑∑ ε ijk a1i a2 j a3k a33
i =1 j =1 k =1
a13
3
3
3
a21 a22
28
单位矢量的点乘
右手坐标 单位矢量的点乘
(δ1 • δ2 ) = (δ1 • δ3 ) = (δ2 • δ3 ) = 1×1× cos( / 2) = 0 π (δ1 • δ1 ) = (δ2 • δ2 ) = (δ3 • δ3 ) = 1×1× cos(0) = 1
(δi • δ j ) = δ ij
交换率（NA）： [v × w ] = −[ w × v ] 结合率（NA）： [ u × [v × w ]] ≠ [[u × v ] × w ] 分配率（OK）： [{u + v} × w ] = [ u × v ] + [v × w ]
[v × v ] = ?
几何意义？
24
张量乘的阶数计算
张量乘的阶数 乘法符号 无 x . : 结果的阶数 Σ Σ-1 Σ-2 Σ-4 例子 v，vw v×w, uv×uw × × v · w, uv · wv uv : wv
——传递过程原理
第3章 场论与张量运算简介
何险峰
2007年9月
本章内容
1. 2. 3. 4. 5. 6.
流体力学基本概念 一点的应力状态——应力张量 场论 二阶张量运算 流体力学本构方程 小结
2
流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
v 泰勒展开： v ( M ′, t ) = v ( M x + v x ∆ t , M y + v y ∆ t , M z + v z ∆ t , t )
= v (M x , M y , M z , t ) +
& a=v=
∂v ∂v ∂v v x ∆t + v y ∆t + v z ∆t ∂x ∂y ∂z
i j k
多重矢量的乘法——例1
(u • [v × w ]) = ∑ ui [[v × w ]]i
i
= ∑ ui [∑∑∑ ε ijk δi v j wk ]i
i i j k
= ∑∑∑ ε ijk ui v j wk
i j k
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3
几何意义：计算u,v,w 组 成平行六面体的体积
29
单位矢量的叉乘
单位矢量叉乘
(δ1 × δ2 ) = 1×1×sin( / 2)δ3 = δ3 π (δ3 × δ1) = 1×1×sin( / 2)δ2 = δ2 π
(δ2 × δ3 ) = 1×1×sin( / 2)δ1 = δ1 π
(δ2 × δ1) = −(δ1 × δ2 ) = −δ3 (δ1 × δ3 ) = −(δ3 × δ1) = −δ2 (δ3 × δ2 ) = −(δ2 × δ3 ) = −δ1
33
多重矢量的乘法——例2
[ u × [ v × w ]] i = = = =
∑∑ε
j k
ijk
u j [[ v × w ]] k
∑∑ε
j k j k
ijk
u j [ ∑ ∑ ∑ ε klm δ k v l w m ] k
k ijk l m
∑∑∑∑ε
l m il
ε lmk u j v l w m
∑ ∑ ∑ (δ
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
3
流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
r = r ( x, y , z , t )
v= ∂r ( x, y, z , t ) ∂t
∂v ∂ 2 r ( x, y, z , t ) & a=v= = ∂t ∂t 2
张量的物理概念（Tensor)
1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
标量、矢量、n 阶张量的关系
14
一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
0 − p 0 0 − p 0 = − pE 0 0 − p 0 nx − pnx − p 0 pn = 0 − p 0 • n y = − pn y = − pn 0 0 − p nz − pnz
d v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v = + vx + vy + v z ∆t = + (v • ∇ )v d t ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t
7
流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度 例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动