对数及对数运算【学习目标】1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R．2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N?；（2）1的对数为0，即log10a?；（3）底的对数等于1，即log1a a?．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；??logloglog aaa MNMN??推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN?????、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logloglog aaa MMNN??（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglog aa MM???要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2．（-3）与log2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a（M?N）=log a M?log a N，log a（M·N）=log a M·log a N，log a NMNM aa loglog?．要点三、对数公式1．对数恒等式：log log a bNa aNaNNb???????2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n??令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?，即:naa MM n loglog?．（2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?，即)1,0(logloglog???ccaMM cca当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1log?????bbaaab ba．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x的取值范围：（1）2log(5)x?；（2）(1)log(2)x x??；（3）2(1)log(1)x x??．【答案】（1）5x?；（2）1,2xx??且；（3）1x??且0,1xx??【解析】（1）由题意50x??，5x??，即为所求．（2）由题意20,10,11,xxx?????????且即2,1,2,xxx???????且1,2xx???且．（3）由题意2(1)0,10,11,xxx?????????且解得1x??且0,1xx??．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log(2)x yx???的定义域为【答案】1|12xxx????????且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log164?；（2）13log273??；（3）3log3x?；（4）35125?；（5）1122??；（6）2193????????．【解析】运用对数的定义进行互化．??33x?；（4）5log1253?；（5）（1）4216?；（2）31273????????；（3）21log12??；（6）13log92??．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：（1）161log2x??（2）log86x?（3）lg1000=x （4）2-2lnex?【答案】（1）14；（2）2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．（1）1112()212221(16)(4)444x??????????；（2）111166366628()(8)(2)22xxx??????，所以；（3）10x=1000=103，于是x=3；（4）由22222lnln 42x xexeeex????????，得，即所以．【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：222log4;log8;log32并比较．【解析】222log4log22;??322log8log23;??522log32log25??．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：log27lg25lg47(9.8)?????7log203【答案】132【解析】原式323log3lg(254)21?????23lg1032???3132322????【总结升华】对数恒等式log a N aN?中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求logloglog abc bcN a??的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．logloglogloglogloglogloglog()()cabcabbcc NbcNbccNN aabcN??????????．类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068 例3】例4．zyx aaa log,log,log用表示下列各式2353(1)log;(2)log();(3)log;(4)log aaaa xyxyxxyzyzz【解析】（1）loglogloglog aaaa xyxyzz???；（2）3535log()loglog3log5log aaaaa xyxyxy????；（3）1logloglog()logloglog2aaaaaa xxyzxyzyz?????；（4）23log a xyz=2311log()log2logloglog23aaaaa xyzxyz????．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log864log325log21025??（2）lg2·lg50+（lg5）2（3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log864log325log21025??.220184082log35log26225?????????（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1 （3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log9,185b a??，求36log45．【答案】2aba??【解析】解法一：18log9,185b a??，18log5b??，于是181818183618181818log45log(95)log9log5log4518log36log(182)1lo g221log9ababa?????????????．解法二：18log9,185b a??，18log5b??，于是1818181836218181818log45log(95)log9log5log45.18log362log18log9 2log9aba?????????解法三：18log9,185b a??，lg9lg18,lg5lg18ab???，362lg45lg(95)lg9lg5lg18lg18log4518lg362lg18lg92lg18lg1 82lg9ababaa?????????????．解法四：18log9a?，189.a??又185,4559181818bbaab???????．令36log45x?，则364518xab???，即218181836()18,()18,339x x abxab??????21818log.9xab???21818log18log92ababxa???????．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log1a a?”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：（1）)2log2)(log3log3(log9384??；（2）32log9log278?；（3）31log529?．【答案】（1）54；（2）109；（3）325【解析】（1）)2log2)(log3log3(log9384??452log233log65)22log2)(log33log23log()9log2log2)(log8 log3log4log3log(3233223332222??????????；（2）32log9log278?9103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg?????；（3）法一：31log529?33331log2(log5)1log25252333325??????法二：31log529?99112log252log25939925????．类型六、对数运算法则的应用例6．（2016春陕西期中）计算（1）34331654()loglog8145???（2）7lg142lglg7lg183???（3）)36log43log32(loglog42122??（4）353log21log235???【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．【答案】（1）278；（2）0；（3）3；（4）44．【解析】（1）334()4433316542542727()loglog()log0814534588???????????（2）原式=2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)??????=lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20???????（3）原式=38log)6log43log5(log)6log43log5(log2222222221????????（4）35353log21log2log2log2313533552725244????????????．举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）??222lg5lg8lg5lg20lg23???；（2）33(lg2)3lg2lg5(lg5)??．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=??22lg52lg2lg5(2lg2lg5)lg2????=22lg10(lg5lg2)??=2+1=3；（2）原式=????22lg2lg5lg2lg2lg5(lg5)???????+3lg2 lg5=??22lg22lg2lg5(lg5)??=??2lg2lg51??．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，则4(log3)f?【思路点拨】判断出40log31??，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【答案】3【解析】∵1,(1,0)()44,(0,1)xx xfxx?????????，40log31??∴4log34(log3)43f??，故答案为：3。