姓名 学习目标：①理解排列、组合的概念． ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③能解决简单的实际问题． 基础梳理： 1、 排列 （1） 定义：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素， 排成一列，叫
做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2） 排列数定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示。

（3） 排列数公式：n m N m n ≤∈,,*，m n A = =
（4） 全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，
n n A = = ，规定0！= 。

2、 组合
（1） 定义：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素
的一个组合。

（2） 组合数：从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中任
取m （n m ≤）个元素的组合数，用符号 表示。

（3） 组合数公式：m n C = = = ，
n m N m n ≤∈,,*。

由于0！= ，所以0
n C = 。

3、 组合数的公式
（1）m n C = ；（2）m n C 1+= + 。

典例精析
题型一 排列数与组合数的计算
【例1】 计算：(1)8！＋A 66A 28－A 410
；(2) C 33＋C 34＋…＋C 310.
【变式训练1】解不等式x 9A ＞629A -x .
题型二 有限制条件的排列问题
【例2】 3男3女共6个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法？
(2)女生与男生相间，有多少种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？
(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到
大的顺序排列构成一个数列.
(1)43 251是这个数列的第几项？
(2)这个数列的第97项是多少？
题型三 有限制条件的组合问题
【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动.
(1)A ，B ，C 三人必须入选有多少种不同选法？
(2)A ，B ，C 三人都不能入选有多少种不同选法？
(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？
(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？
(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？
【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.
(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？
课堂练习：
1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样
的三位数共有个.
2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的
选派方案共有种.
3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排
法有种.（用式子表示）
4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是
（用式子表示）.
5.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多
使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.
6.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.
7.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派
方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.
8. 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
课后作业
一、填空题
1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个.
2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若
恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的
排法共有种.
4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有种不同的读法.
5.有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有
中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有种.
6. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相
对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.
7.平面α内有四个点，平面β内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取
四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）
8.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相
邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）
二、解答题
9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不
同的投资方案有多少种？
10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某
种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有一名女生；
（2）两队长当选；
（3）至少有一名队长当选；
（4）至多有两名女生当选.
11.已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？
13.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：
(1)奇数；
(2)偶数；
(3)大于3 125的数.
14.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？
（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
15.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（3）分成每组都是2本的三组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.。