27.3.2位似图形的坐标变化规律巩固练习（含答案）
一、选择题
1．将平面直角坐标系中某个图案各点的坐标作如下变化，其中一定属于位似变换的是( ) A ．将各点的纵坐标乘2，横坐标不变 B ．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C ．将各点的横坐标、纵坐标都乘2 D ．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
2．如图1，在平面直角坐标系中，有两点A (4，2)，B (3，0)，以原点O 为位似中心，A ′B ′与AB 的相似比为1
2
，得到线段A ′B ′，正确的画法是( )
图1
3．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图2，则小鱼上的点(a ，b )对应大鱼上的点( )
图2
A ．(－2a ，－2b )
B ．(－a ，－2b )
C ．(－2b ，－2a )
D ．(－2a ，－b )
4．在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的1
2
后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )
A ．(5，1)
B ．(4，3)
C ．(3，4)
D ．(1，5)
5．如图3，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，位似中心为原点O ，点A ，A ′的坐标分别是(－1，2)，(2，－4)．若△ABC 的面积为4，则△A ′B ′C ′的面积是( )
图3
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6.如图4，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为( )
图4
A ．(3，2)
B ．(3，1)
C ．(2，2)
D ．(4，2)
二、填空题
7．如图5，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为A (－2，－1)，B (－2，－3)，O (0，0)，△A 1B 1O 1的顶点坐标分别为A 1(1，－1)，B 1(1，－5)，O 1(5，1)，△ABO 与△A 1B 1O 1是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标为________．
图5
8．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(4，2)，(5，0)，以点O 为位似中心，相似比为1
2，把△ABO
缩小得到△A 1B 1O ，则点A 的对应点A 1的坐标为______________．
9．如图6所示，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则这两个正方形的位似中心的坐标是______________．
图6
10.如图7，A 是反比例函数y ＝k
x (x ＞0)图象上的一点，点B ，D 在y 轴正半轴上，△ABD 和△COD 是以点D
为位似中心的位似图形，且相似比是1∶3，△ABD 的面积为1，则k 的值为________．
图7
三、解答题
11．如图8，在平面直角坐标系中，依次连接点O (0，0)，A (2，2)，B (5，2)，C (3，0)组成一个图形，请你以原点为位似中心在第一象限内把它放大，使放大前后对应线段的比是1∶4.
图8
12．如图9，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 的三个顶点分别为A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)．
(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 是位似图形，且相似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．
13．如图10，在平面直角坐标系中，将A (1，0)，B (0，2)，C (2，3)，D (3，1)用线段依次连接起来形成一个图案(图案①)．请按要求对图案作如下变换：
(1)将图案①绕点O 逆时针旋转90°得到图案②；
(2)以点O 为位似中心，相似比为2∶1，将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③，画出图案③，则变换后点C 对应点的坐标为________．
图
10
附加题
数形结合在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转，旋转角度为θ(0°<θ<360°)，再以原点为位似中心，相似比为k 得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k 】变换．例如，把图11中的△ABC 先绕着原点O 顺时针旋转90°，再以原点O 为位似中心，相似比为12得到一个新的图形△A 1B 1C 1，可以把这个过程记
为【90°，1
2
】变换．
(1)在图中画出一个符合题目要求的△A 1B 1C 1；
(2)若△OMN 的顶点坐标分别为O (0，0)，M (2，4)，N (6，2)，把△OMN 经过【θ，k 】变换后得到△OM ′N ′，若点M 的对应点M ′的坐标为(－1，－2)，则θ＝________，k ＝________．
参考答案
1．C
2．D [解析] 因为正确的画法有两种情形，故选项D 符合要求． [点评] 注意位似中心、相似比虽然相同，但其位似图形有两种情形． 3．A
4．C [解析] 根据题意，得点C 的坐标为(6×12，8×1
2
)，即C(3，4)．
5．D [解析] ∵△ABC 和△A′B′C′是位似图形，位似中心为原点O ，点A ，A′的坐标分别是(－1，2)，(2，－4)，
∴△ABC 和△A′B′C′的相似比为1∶2. ∵△ABC 的面积为4， ∴△A′B′C′的面积是16.
6．A [解析] ∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴AD BG ＝1
3，
OA OB ＝1
3
. ∵BG ＝6，∴AD ＝BC ＝AB ＝2， ∴
OA 2＋OA ＝1
3
，解得OA ＝1， ∴OB ＝3，
∴点C 的坐标为(3，2)． 7．(－5，－1) 8．(2，1)或(－2，－1)
9．(1，0)或(－5，－2) [解析] 位似中心可以在两个正方形的同侧或异侧．连接AG 与BE 交于一点，该点可为位似中心，其坐标为(1，0)；若连接AE ，CG 并延长，两线交于一点，该点也可为位似中心，其坐标为(－5，－2)．
10．8 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.
∵△ABD 和△COD 是以点D 为位似中心的位似图形，且相似是1∶3，∴AB CO ＝1
3.
∵OE ＝AB ， ∴
CO CE ＝DO AE ＝3
4
.假设BD ＝x ，AB ＝y ，
∴DO ＝3x ，AE ＝4x. ∵△ABD 的面积为1， ∴1
2
xy ＝1，∴xy ＝2， ∴AB·AE ＝4xy ＝8，即k ＝4xy ＝8.
11．解：如图，四边形OA′B′C′就是所要求的图形．
12．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所要求的三角形． (2)如图所示，△A 2B 2C 2就是所要求的三角形．
如图，分别过点A 2，C 2作y 轴的平行线，过点B 2作x 轴的平行线，交点分别为E ，F ， ∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，位似中心为原点O ，且相似比为2， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)，
∴A 2E ＝2，C 2F ＝8，EF ＝10，B 2E ＝6，B 2F ＝4， ∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.
13．解：(1)图案②如图所示．
(2)图案③如图所示，变换后点C 对应点的坐标为(－4，－6)．
附加题
解：(1)答案不唯一，如图所示．
(2)由于M(2，4)，M′(－1，－2)都在直线y ＝2x 上， 即M ，O ，M′三点共线，由0°<θ<360°，得θ＝180°. 根据M ，M′的坐标易知OM ＝2OM′，即k ＝12.
故θ＝180°，k ＝1
2.。