二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数
函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方
法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ; (2) y=x+ 2-x2 ;
[
3 4
,
+∞)
[- 2 , 2]
三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. 好是满主足要分适母用恒于不形为如零y =).daxx22++ebxx++fc (a, d不同时为零)的函数(最
mx2+8x+n x2+1
的定义域为 R,
值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
65 12
, 故y
-,
65 12
.
1x
-3/4
例2 求函数 y= x2 x 1 的值域。 2x2 2x 3
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
例1 求函数 y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
解：y (x 1)2 3 ,Q x 1,1,
y
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,x
1,
ymax
3 2
,
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
o 1/2
-1
例5
求函数
y
=
x2-x x2+x+1
的值域.
[1-
2
3 3
,
1+
2
3 3
]
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域:
(1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
Hale Waihona Puke (4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
(6)
y=
2x2-x-2 x2+x+1
;
(8) y=x+ x+1 ;
(6)[
1-2 3
13 ,
1+2 13 3
]
(8)[-1, +∞)
求
2.若函数 f(x)=log3 m 与 n 的值.
例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解：（1）令t= 于是y=5-
3x-1 0,有 1(t2 +1)+t=-
x= 1(t2+1), 1(t- 33)2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2
，ymin