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探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量 e1，e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少 组？不同基底对应向量 a 的表示式是否相同？ 答 同一平面内可以作基底的向量有无数组， 不同基底对应向量 a 的表示式不相同．
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2.3.1
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
思考 1 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量A→B，
C→D，E→F，G→H，H→G，a.
答 通过观察，可得： A→B＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，E→F＝4e1－4e2， G→H＝－2e1＋5e2，H→G＝2e1－5e2，a＝－2e1.
思考 4 平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．
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探究点二 ：平面向量基本定理的证明
2.3.1
(1)证明定理中 λ1，λ2 的存在性． 如图，e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能 否表示成 λ1e1＋λ2e2 的形式，请通过作图探究 a 与 e1、e2 之间的关系．
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2.3.1
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面 内的 任意 向量 a， 有且只有一对 实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 . (2)基底：把 不共线 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有 向量的一组
基底．
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探究点三 ：向量的夹角
思考 1 已知 a、b 是两个非零向量，过点 O 如何作出它们的夹角 θ？
2.3.1
答 过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ，就是 a 与 b 的夹角．
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1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
2.3.1
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2.3.1
[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且 力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的 分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
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探究点二 ：平面向量基本定理的证明
答 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝e1，O→B＝e2，O→C＝a，
2.3.1
过点 C 分别作平行于 OB，OA 的直线，交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于 点 N，有O→M＝λ1O→A，O→N＝λ2O→B， ∵O→C＝O→M＋O→N，∴a＝λ1e1＋λ2e2.
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探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 2 根据上述分析，平面内任一向量 a 都可以由这个平面内两个不共 线的向量 e1，e2 表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个 定理的内容吗？
答 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意 向量 a ， 有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
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探究点二 ：平面向量基本定理的证明
(2)证明定理中 λ1，λ2 的唯一性． 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和 e1、e2 共面的任一向 量，且存在实数 λ1、λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2，证明 λ1，λ2 是唯一确定的．(提示： 利用反证法) 答 假设存在另一组实数 λ′1，λ′2 也能使 a＝λ′1e1＋λ′2e2 成立，则 λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2. ∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0. ∵e1、e2 不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2. ∴使 a＝λ1e1＋λ2e2 成立的实数对 λ1，λ2 是唯一的．
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探究点三 ：向量的夹角
2.3.1
思考 2 两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时， 要注意什么事项？
答 两个非零向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°， 确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．
第二章 平面向量的线性运算
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
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定
理
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2.3.1
探究点一 平面向量基本定理的提出 探究点二 平面向量基本定理的证明 探究点三 向量的夹角
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2. 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，如图，
作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)
叫做向量 a 与 b 的夹角．
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2.3.1
①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 [0° ，180°] ． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向 ． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向 ． (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b .