概率统计简介及在生活中应用
机电工程学院
摘要：概率论起源于十七世纪，最初是为赌博业服务的，后经过一系列数学家对其进行的公理化，使之成为了一门严格的演绎科学。
统计学是在概率论的基础上发展起来的，其在天文、数学、气象、物理、生物和社会学等诸多领域的广泛应用促进了它的迅速发展。
如今，概率论和数理统计已经成为了研究随机现象数量规律的重要数学分支，并在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。
关键词：概率论；概率；生活；应用
一、概率统计的内容
1.概率论
概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
任何事件的概率值一定介于0和1之间。
随机现象产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，则会有一个分布曲线。
实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
2.数理统计
数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。
抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。
究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
适线问题也叫曲线拟和。
有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。
根据什么原则求理论曲线、如何比较同一问题中求出的几种不同曲线、
选配好曲线后如何判断它们的误差等问题，都属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，再根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。
方差分析也叫做离差分析，即用方差的概念去分析由少数试验就可以作出的判断。
由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。
如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
二、概率统计在生活中的应用举例
1.古典概率应用
古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
例：在某一比赛中，根据甲乙两选手以往战绩统计得知，每一局中，甲胜的概率为0.45，乙胜的概率为0.55，则比赛采用三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？分析如下： 若采用三局两胜制，设1A 表示甲胜前两局，2A 表示前两局中甲乙各胜一局且第三局甲胜，A 表示甲最终胜利，则21A A A =，而
()()()22120.450.2025,0.450.5520.22275
P A P A ===⨯⨯=，
由于1A 与2A 互斥，由加法公式得 ()()()()12120.20250.222750.42525P A P A A P A P A ==+=+=。
若采用五局三胜制，设B 表示甲最终胜利，1B 表示前三局甲胜，2B 表示前三局中甲胜两局且第四局甲胜，3B 表示前四局中甲乙各胜两局且第五局甲胜，则321B B B B =，而
()310.450.091125P B ==，
()22230.450.550.450.150356P B C =⨯⨯=，
()222340.450.550.450.165392
P B C =⨯⨯=， 则4069.0)()(321==B B B P B P 。
由于)()(A P B P <，则采用三局两胜制对甲更有利。
类似的利用古典概率求解的案例有许多，比如博彩领域、产品抽样检查等。
许多古典概率的计算相当困难而富有技巧，计算的要点是给定样本点，并计算它的总数，再计算有利场合的数目。
2.条件概率应用
在同一个样本空间Ω中的事件或者子集A 与B ，如果随机从Ω中选出的一个元素属于B ，那么下一个随机选择的元素属于A ，的概率就定义为在B 的前提下A 的条件概率。
例：一批产品共100件，对其进行抽样检查，整批产品不合格的条件是被检查的5件产品中至少有1件是废品。
若这批产品中有5%是不合格的，则该批产品被拒绝接受的可能性有多大？分析如下：
令=A 该批产品被接收=所抽取5件产品皆为合格品，记=k B 第k 件被检查产品合格（5,4,3,2,1=k ）。
则
()()()()()()121312412351234P A P B P B B P B B B P B B B B P B B B B B =----，
由于100件产品中有95件合格品，则100/95)(1=B P ，在1B 发生后，剩下99件产品中尚有94件合格品，故99/94)(12=-B B P ，以此类推，98/93)(213B B B P -，
97/92)(3214=-B B B B P ，96/91)(43215=-B B B B B P 。
所以77.0)(≈A P ，则该批产品被拒绝接收的可能性为23%。
3.伯努利试验应用
伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
例：大学英语四级包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等. 除写作 15分外,其余85道题是单项选择题, 每道题有 A 、B 、C 、D 四个选项,这种情况使个别学生, 产生碰运气和侥幸心理, 那么靠运气能通过四级英语考试吗？
假设不考虑写作15分，及格率按60分算，则85道题必须答对51道以上，可看成85重伯努利试验。
设随机变量X 表示答对的题，则)25.0,85(~B X ，其分布律为
{}85850.250.75,0,1,,85k k k P X k C k -===。
当51>X 时，
{}8585128552510.250.758.7410k k k k P X C --=>=
≈⨯∑
即概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.847人能通过。
因此靠运气通
过考试是不可能的。
4.数学期望应用
离散型随机变量的一切可能的取值i x 与对应的概率i P 之积的和称为该离散型随机变量的数学期望，公式表示为∑==n
i i
i P x E 1。
连续型随机变量X 的概率密度函数为)(X f ，若积分
⎰+∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称
此积分值为随机变量X 的数学期望。
例：某大型商场对某种原来售价2500元的家用电器进行“让利”促销活动，推出先使用后付款的方式。
设该家用电器的使用寿命为X （单位：年），规定：
1X ≤ 一台付款1500元 12X <≤ 一台付款2000元 23X <≤ 一台付款2500元 3X > 一台付款3000元
已知寿命X 服从参数为1/10的指数分布，试估算该商场在促销活动中销售一台家电时利润是降低了还是提高。
为此需求出在促销活动中该电器售价Y 的数学期望)(Y E ，先求出寿命X 落在各时间区间内的概率，因为寿命X 服从参数为1/10的指数分布，所以其概率密度为x e x f λλ=)(，Y 的期望为1624，由大数定律知，促销活动中该电器的平均售价约为2732元，每台电器利润提高了232元。
5.参数估计应用
参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
例：某商店采用科学管理的方法经营商店，它对某种商品前12个月的销售情况做了记录，数据如下：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
售出件数 5 7 7 6 4 5 3 6 6 9 10 5
则商店在本月初至少进货多少件才能以95%以上的概率保证这个月不脱销？
在实际中，我们认为商品的销售量服从泊松分布，故先求出参数。
商品的月平均销售件数为7，设商品每月销售,X 件，则由参数估计的有关知识，我们可以判断出X 服从参数为6的泊松分布。
假设商店在月初应进货n 件，则n 应是满足不等式的最小值。
查泊松分布概率值表并通过计算得到n=10，即月初商店至少进货10件，才能以95%以上的概率保证这个月不脱销。
三、结语
从上面几个例子可以看出，概率论与数理统计在实际问题中应用的十分广泛。
法国数学家拉普拉斯(Laplace)说:“生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率的问题。
”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为。
”由此可见概率论与数理统计与生活关系。
参考文献：
[1]寿杭勇.浅谈概率在实际问题中的具体应用.科学与财富, 2011,1: 51-58.
[2]王勇.概率论与数理统计.高等教育出版社. 2013.09
[3]李京华.概率论在日常生活中的几个简单应用.干部学院院报,2010,96: 3-4.。