和 等于常数
Y Mx,y
O
F 1 c,0
F 2c,0 X
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
2、椭圆的两种标准方程：
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
焦点及位置 判定
焦 F 1 ( 点 c,0 )F ,2(c,0 )
焦 F 1 (0 点 , c)F ,2 (0 ,c)
焦点 a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， c2=a2-b2
a最大
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。
区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
y
M
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
F1 O F2 x
O
x
F ( ±c, 0) F(0, ± c)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
（ 1a0,b0)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
（ 1） x2y21,(2)x2y21
16 9
16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
3、 双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点．
F1
M
O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支
；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支 ；
若2a=2c，动点MM的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ；
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2、双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
by221(ab0)源自y2 a2bx22
1(ab0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 1(a0,b0) a2 b2 y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
1.在作图的过程中哪些量是定量？ 哪些量是不定量？ 2.动点在运动过程中满足什么条件？ 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么？ 4.动点运动的轨迹是什么？ 5.若拉链上被固定的两点互换， 则出现什么情况？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
2.3.1双曲线及其标准方程
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
观察演示过程中的变量和不变量。
1、画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
观察画双曲线的过程思考问题
当堂训练：
1.已知方程 x2 y2 1表示椭圆，则 m
的取值范围是m__1___2___m____.
解： m10 2mm120m1m2且m32
若此方程表示双曲线，m 的取值范围？
解： (m1)(2m )0 m1或 m2
2的．（“Cab）＜条0”件是方程 ax2＋by2＝1 表示双曲线
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0 0<2a<2c
【思考1】如何理解双曲线的定义？
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
标准方程
a,b,c之间
的关系
x2 a2
by22
1(ab0)
a>b>0，a2=b2+c2
y2 x2 1(ab0) a2 b2
一.复习提问：
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx,y
O
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） F1c,0 F 2c,0 X
双曲线及其标准方程课件优秀 课件
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2.3.1双曲线及其标准方程
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
一.复习提问：
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距的 2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
若2a>F21c，动点MF的2 轨迹不存在
F1
.
F2
若2a=0，动点M的是轨迹__线__段__F_1_F_2_的M__垂__直__平__分__线___.
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小 .
当堂训练
1.动点P到点M(-1,0)的距离与到点N(1,0)的距 离之差为2,则点P轨迹是( D )
4.代换 即 (x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
5.化简
y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a 2 )x2 a 2y2 a 2(c2 a 2 )
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:a x2 2b y22 （ 1a0,b0)
其中c2=a2+b2
