圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系第一部分知识梳理一 .直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：>（1）直线l和⊙O相离⇔d r此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ⇔d r =此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（3）直线l 和⊙O 相交 ⇔0d r ≤<此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线．2. 切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质:（1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别:（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况:ll（1（2（3（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切.（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离⇔ d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切⇔d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交⇔R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切⇔d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含⇔0d R r ≤<-（1） （2） （3） （4） （5）2. 相切两圆的性质连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.3.相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧.第二部分例题精讲例1 如图，已知Rt ABC∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.出题意图：考查直线与圆的位置关系. 解析：.答案：解：在Rt ABC∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4. 由勾股定理，得AB=5.设点C到AB的距离为d，则即d5214321⨯=⨯⨯解得 d=.（1）∵＞2，即d＞R ∴半径长R为2的⊙C与直线AB相离.（2）∵＜4，即d＜R，∴半径长R为4的⊙C与直线AB相交.（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么⊙C与直线AB相切或相交.∴当R≥时，⊙C与直线AB有公共点.针对训练 1已知Rt ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B 为圆心作⊙B.（1）若⊙B 与斜边AC 只有唯一一个公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围.（2）若⊙B 与斜边AC 没有公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围.例 2 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，求证：直线AB 是⊙O 的切线． 出题意图：考查切线的判定定理.解析：欲证AB 是⊙O 的切线,由于AB 过圆上点C,若连结OC,则AB 过半径OC 的外端,只需证明OC ⊥AB 即可.答案：证明：连结0C ∵0A ＝0B ，CA ＝CB∴0C 是等腰三角形0AB 底边AB 上的中线． ∴AB ⊥OC ．∵直线AB 经过半径0C 的外端C ，并且垂直于半径0C ∴AB 是⊙O 的切线．针对训练 2如图，AC 是⊙O 的弦，AC=BC=OC. 求证：AB 是⊙O 的切线.例3 如图，已知⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.出题意图： 考查圆与圆的位置关系.解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可.答案：解：设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 厘米、y 厘米、z 厘米.ACB∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切， ∴AB ＝ x ＋y ，BC ＝y ＋z ，CA ＝z ＋x. 根据题意，得关于x 、y 、z 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+653x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===142z y x∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练 3如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少 （2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少例4 相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距. 出题意图： 考查相交两圆的性质.解析：两圆相交要考虑两种情况：（1）圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；（2）圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值.答案： 解：①圆心在公共弦的两侧12O O ∴为AB 的垂直平分线∴AB ⊥12O O ，AC=CB ②圆心在公共弦的同侧 由①可得：1OC =24O C = 针对训练 4已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，P 是连心线12O O 与2O 的交点，PA 、PB 的延长线分别交1O 于点C 、D.求证：AC BD =例5 如图，1O 与2O 内切于点P ，经过1O 上点Q 的切线与2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交2O 于点R. 求证：RA RB =出题意图： 考查相切两圆的性质.解析： 利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P ，然后利用圆中的相关知识即可解答. 答案： 证明：联结1O Q 、2O R ，作直线12O O .1O 与2O 内切于点P 12O O ∴经过点P11O P O Q =，22O P O R = 1O Q ∴∥2O RAB 与1O 相切与点Q. 针对训练 5如图，1O 与2O 外切于点P ，经过1O 上点Q 的切线与2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交2O 于点R. 求证：RA RB =例6 在ABC ∆中，6AB AC ==，30B ∠=︒，点1O 、2O 在BC 上，1O 、2O 外切于点P. 1O 与AB 相切于点D ，与AC 相离；2O 与AC 相切于点E ，与AB 相离.（1）求证：DP ∥AC.（2）设1O 的半径长为x ，2O 的半径长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域.出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用解析： 利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意. 答案：解：（1）联结1O D1O 与AB 相切于点DDP ∴ ∥AC（2）联结2O E ，则2O E AC ⊥，作AH BC ⊥于H. 同理3BD x =当1O 与H 重合时，1O 与AC 相切，此时x =当2O 与H 重合时，2O 与AB 相切，此时2x = 针对训练 6在ABC ∆中，，90BAC ∠=︒，AB AC ==A 的半径长为1，若点O 在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO=x ，AOC ∆的面积为y. （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.（2）以点O 为圆心、BO 为半径作圆O ，求当圆O 与圆A 相切时，AOC ∆的面积.第三部分 优化作业基础训练题（A ）1. 下列直线中，不能判定为圆的切线的是 （ ） A.与圆仅有一个公共点的直线；B.与圆心的距离等于半径长的直线；C.过半径的端点且与该半径垂直的直线；D.过直径的端点且与该直径垂直的直线.2. 已知O 的直径等于12cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与O 的交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D.无法确定3.1O 的半径为3厘米，2O 的半径为2厘米，圆心距12O O =5厘米，这两圆的位置关系是（ ）A.内含B.内切C.相交D.外切4.已知两圆的直径分别为6cm 和10cm ，当两圆外切时，它们的圆心距d 的大小是（ ）A. 8d cm =B. 48cm d cm <<C. 8d cm >D. 4d cm =5.已知线段AB=3cm ，A 的半径为4cm ，若A 与B 相切，则B 的半径为 cm.6.如图，AB 与O 相切于点C ，OA=OB ，若O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是 cm.7.设O 的半径为r ，圆心O 到直线a 的距离为d ，若d=r ，则直线a 与O 的位置关系是 .8.两圆的直径分别为3+r 和3-r ，若它们的圆心距为r,则两圆的位置关系为 .9.已知1O 、2O 的半径长分别是3cm 、5cm ，如果1O 与2O 内含，那么圆心距d 的取值范围为 .10.两圆的半径之比为5:3，如果当它们外切时，圆心距长为16，那么当它们内切时，圆心距长为 .11.已知1O 和2O 的半径为方程2420x x -+=的两个根，若12 2.5O O =，试判断1O 和2O 的位置关系.12.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AD+BC=AB.求证：以AB 为直径的 与CD 相切.13.如图，OA=OB=8，OA ⊥OB ，以O 为圆心、OA 为半径作AB ，2O 与以OA 为直径的1O 相切于点E ，与AB 相切于F ，与OB 相切于D ，求2O 的半径长.14.如图，已知A 是1O 、2O 的一个交点，点P 是12O O 的中点.过点A 的直线MN 垂直于PA ，交1O 、2O 于M 、N.求证：AM=AN.15.已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，公共弦与连心线12O O 相交于点G ，若AB=48，1O 的半径130r =，2O 的半径240r =.求12AO O ∆的面积.提高训练题（B ）1. 已知O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO=2，则直线与O 的位置关系是（ ）A.相切B.相离C. 相离或相切D.相切或相交2. 已知ABC ∆ 三边分别是a b c 、、，两圆的半径1r a =，2r b =，圆心距d c =，则这两个圆的位置关系是（ ）A.相交B.内切C.外切D.内含3.两圆的半径长度分别为R 和r ，两圆心间的距离为d ，如果将长度分别为R 、r 、d 三线段首尾相接可以围成一个三角形，则两圆的位置关系是 .4.两个半径都等于2cm 的1O 和2O 的圆心距126O O cm =，则与这两个圆都相切，且半径为3cm 的圆有 个.5.Rt ABC ∆中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC,以D 为圆心、DB 为半径作圆D.（1）求证：AC 是圆D 的切线；（2）求证：AB+EB=AC.6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，求tan ∠EAB 的值.7. 如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为3，求BC 的长．（结果保留π）8.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC 为直径作O ，以B 为圆心，4为半径作B .求证：O 与B 相外切.9.如图，已知O 与A 交于B 、C 两点，A 在O 上，AD 是O 的直径，AD 交BC 于M ，AE 是O 的弦，AE 交BC 于N.若AM=4cm ，AN =6cm ，AE=24cm ，求O 的半径.10.如图，AB 为半圆O 的直径，P 是AB 延长线上一点，将线段PA 绕点P 旋转到与半圆O 相切的位置PC ，这时切点为E ，AC 与半圆相交于点D.（1）求证：sin AC P CD∠=； （2）若CD=2AD ，求CE:EP 的值；（3）若E 是PC 的中点，求AD ：DC 的值.综合迁移题（C ）1. 如图，矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，（a>b ），以C 为圆心，CD 的长为半径作圆弧交BC 于E ，以B 为圆心、BE 长为半径作圆弧交AB 于F ，以A 为圆心、AF 为半径作圆弧恰与弧DE 相切.求a b的值. 2. 已知，如图所示，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，过A 点的弦分别交两圆于C 、D ，弦CE3.在ABC ∆中，90BAC ∠=，AC=3，AB=4，O 是BC 上的一点，以O 为圆心，OC 为半径作圆交AC 于点D ，交BC 于点Ｆ，过Ｄ作O ⊙的切线交AB 边于点E ，连BD ，设OC=x ，BED ∆的面积为y.求y 与x 之间的函数关系式.4. 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径．参考答案：针对训练1. （1）12345R R=<≤或（2）1235R<≤2. 通过等边对等角和三角形的内角和定理可以推出∠OAB=90°即可得出答案.3.（1）⊙P1的半径是3cm （2）⊙P2的半径是13cm4. 利用相交两圆公共弦的定理以及同圆弦心距相等则弦所对的劣弧相等即可得出答案.5. 利用两圆相切连心线过切点的定理即可解答.6.（1）4(04)y x x=-+<<（2）17162AOCS∆=或（提示：第二问要考虑圆A和圆O外切、内切两种情况）基础训练题（A）1. C2. C3. D4. A5. 1cm或7cm7. 相切x8. 内切9. 02cm d cm ≤<10. 411. 两圆内含.（提示：算出半径之和和半径之差的绝对值，然后与圆心距比较即可）12. 证明略.（提示：过点O 做OE ⊥CD 于点E ，证得OE 等于圆的半径OA 即可）13. 半径长为2.（提示：联结各个圆心距，利用相切两圆的性质和勾股定理即可）14. 证明过程略.（提示：过两个圆心分别向MN 作垂线，再利用圆中的知识即可）15. 600或168.（提示：分圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧两种情况） 提高训练题（B ）1. D2. A3. 相交4. 45.证明过程略（提示：（1）向AC 作垂线，用圆心到直线的距离等于半径来判定直线与圆相切.（2）通过证三角形全等，将边转化，从而可以得出结论.）6. tan EAB ∠=347. （1）证明略（2）603180BC ππ⨯== 8. 证明过程略（提示：联结BO ，利用直角三角形勾股定理算出OB 的长度，正好等于两个圆的半径之和，从而可以得出结论）9. 18cm (提示：由于△AMN ∽△AED ，列出比例式，从而可以求出AD 的长，即可算出答案)10. （1）证明略 （2）1 （3）35综合迁移题（C ） 1. 43(提示：两圆外切圆心距等于半径之和，矩形的两边和对角线都为两个圆的半径之和，因此可通过勾股定理求出a 、b 的关系)2. EB 与圆O 2相切，证明过程略3.2273215(0)501082y x x x =-++<<（提示：BEC ABC AED BDC S S S S ∆∆∆∆=--）4.（1）D（3，4）（2）符合条件的点P有三个,分别是（5，0），（6，0），（25,06）.（3）当P（5，0）时，⊙O的半径为5 当P（6，0）时，⊙O的半径为1当P（25,06）时，⊙O的半径为0，即此圆不存在。