因为圆心1, 2到切线的距离为 2，
即| k 3 |＝ 2, 1 k2
所以k 2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1. 所以所求的切线方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
2连结PC，CA.在RtVPCA中，PA 2＝ PC 2－ CA 2＝8，
所以过P点的圆C的切线长为2 2.
3由7( xx 1y)21(5y02)2
, 解得A(12
2
5
, 9)． 5
又由(xxy1)2
1 (
0 y
2)2
, 解得B 0,1．
2
所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
(1)过圆上一点作圆的切线只有一条； (2)过圆外一点作圆的切线必有两条．在求 圆的切线方程时，会遇到切线的斜率不存 在的情况．如过圆x2＋y2＝4外一点(2,3)作 圆的切线，切线方程为5x－12y＋26＝0或x －2＝0，此时要注意斜率不存在的切线不 能漏掉；
【例2】 已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的 交点A、B； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什 么曲线．
【解析】1 证明：直线l的方程化为( x－1)m＋(1－y )＝0
令
x 1
1 y
0 0
,得
＝4(4－b)2－4 2 (b2－6b＋1) 0，
得2－3 2 b 2＋3 2
由韦达定理得x1＋x2＝－(4－b)，x1
x2＝ b 2
6b 2
1
y1
y2＝b2－b(x1＋x2 )＋x1 uuur uuur
x2＝ b 2
6b 2
1＋4b.
因为OP OQ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋1＋4b＝0.
3.已知圆C：(x－a)2＋( y－2)2＝4a 0及直线l：
x－y＋3＝0.当直线l被圆C截得的弦长为2 3时，
a等于 ___2_－__1____
【解析】由题意知| a 2 3 | | a 1| 22 32
2
2
解得a＝ 2－1.
因为a 0，所以a＝ 2－1.
4.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l： y＝kx与圆C交于P、Q两点，点M(0，b)满足 MP⊥MQ. (1)当b＝1时，求k的值； (2)若k＝2，求b的值．
二是通过对给出的直线和圆的方程进行分 析和计算，可以判断直线与圆、圆与圆的位置 关系；
三是运用直线与圆的基础知识和基本方法 考查诸如求参数的取值范围、求最值等一些实 际问题．复习备考时要注意理顺关系，全面掌 握，小心求证，细心求解．
1．直线与圆的三种位置关系的判断方法有两种:
1几何法：将圆心到直线的距离d与圆的半
x y
1，即直线l恒过定点P 1
1,1．
而12＋(1－1)2＝1 5，所以点P 1,1在圆内．
所以对任意m R， 直线l与圆C总有两个不同的交点A、B.
2圆C的圆心C 0,1，半径r＝ 5
设弦AB的中点M的坐标为M (x，y)． 当m＝0时，直线l：y＝1，
则弦AB的中点M的坐标为0,1；
位置关系 数学式子 位置关系 数学式子
两圆外离 两圆外切 两圆相交
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 两圆内含
d＝|r1－r2| d<|r1 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步 曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐 标和方程表示问题中的元素，将平面几何问题转 化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数结果“翻译”成几何结论． 4．数形结合是解决本节内容非常有效的方 法．涉及到圆上的点(x，y)的最值用数形结合；直 线与圆的一部分的交点情况的判断也是用数形结 合；相交弦问题还是用数形结合．
5．直线与圆相切的问题是考得比较多的内容，
因而要重视．
1 过圆上的点作圆的切线只有一条；
3r r 故 e N的方程为(x－3 3)2＋( y－3)2＝9.
1.已知直线5x－12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0 相切，则a的值为___－__1_8_或__8____.
【解析】圆的方程可化为( x－1)2＋y 2＝1，
所以圆心坐标为1, 0 ，半径为1，
由已知可得 | 5 a |＝1 | 5＋a |＝13， 13
所以a的值为－18或8.
2.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直 线 3x ＋ 4y ＋ 8 ＝ 0 的 距 离 的 最 小 值 是 ____2____.
【解析】知圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心C 1,1．
因为圆心到直线的距离d＝| 3 4 8 |＝3， 5
所以点Q到直线的距离的最小值为3－1＝2.
【变式练习3】 如图，已知圆心坐标为( 3，1)的圆M 与x轴及直线 y＝ 3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M 外 切、且与x轴及直线y＝ 3x分别相切于C、D两点． 求圆M 和圆N的方程．
【解析】连结OM. 由于⊙M与∠BOA的两边 均相切，故点M到直线OA 及直线OB的距离均为⊙M 的半径， 则点M在∠BOA的角平分线上． 同理，点N也在∠BOA的角平分线上， 即O，M，N三点共线，且直线OMN为∠BOA的角 平分线．
直线与圆相切
【例1】 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2， －1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.求： (1)直线PA、PB的方程； (2)过P点的圆的切线长； (3)直线AB的方程．
【解析】1如图，设过P点的圆
的切线方程为y＋1＝k ( x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.
1求m的值； 2 求直线PQ的方程
【解析】1曲线方程为(x＋1)2＋( y－3)2＝9表示圆
心为(－1, 3)，半径为3的圆． 因为点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称， 所以圆心(－1, 3)在直线上，代入得m＝－1.
2 因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
所以设P(x1，y1)、Q(x2，y2 )， PQ方程为y＝－x＋b. 将直线y＝－x＋b代入圆方程， 得2x 2＋2(4－b) x＋b2－6b＋1＝0.
【变式练习2】 已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(x∈R)． (1)证明：不论m为何值，直线l必与圆C相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长取最小值时直线l的 方程．
【解析】1 证明：直线l的方程可化为
(2x＋y－7)m＋( x＋y－4)＝0.
所以直线l的斜率等于2. 由点斜式得直线l的方程为y－1＝2( x－3)， 即2x－y－5＝0.
圆与圆的位置关系
【例2】 求与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1, 2)，且半径 为2 5的圆的方程．
【解析】方法1：设所求圆的圆心为C(a，b)，则
(a 1)2 (b 2)2 (2 b 2 a 1
解得b＝1 (2－3 2，2＋3 2)．
所以所求的直线方程为y＝－x＋1.
本节内容很好地体现了运算、推理、数形结 合、分类讨论等数学思想和方法，因而在近几年 的高考试题中出现的频率相当高，主要反映在三 个方面：
一是利用直线与圆相交时半径、弦心距、弦 长的一半的勾股关系，以及直线与圆相切时圆心 到直线的距离等于半径等关系，可以求得一些相 关的量，进而求得圆的方程或直线的方程；
2设AB与MQ交于点P，则MP AB，MB BQ，
MP＝ 1 2 2 2＝1 33
在RtVMBQ中，MB2＝MPgMQ，即1＝1 MQ，所以MQ＝3. 3
设Q x,0，则x2＋22＝9，x＝ 5，，所以Q( 5，0)，
所以直线MQ的方程为2x＋ 5y－2 5＝0或2x－ 5y＋2 5＝0.
直线与圆相交
(3)本题中求直线AB的方程是通过求切点，根据
两切点A、B的坐标写出来的．事实上，过圆(x
－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的切线， 经过两切点的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－ b)(y－b)＝r2.其证明思路为：设切点A(x1，y1)、 B(x2，y2)，P点坐标满足切线PA、PB的方程， 从而得出过A、B两点的直线方程．
【解析】圆的方程化为(x－1)2＋( y－1)2＝1，
圆心C 1,1，半径r＝1，它与x轴、y轴都相切， 且切点分别为1, 0 、 0,1． 1当b＝1时，点M刚好是圆在y轴上的切点．
要满足MP MQ，PQ必为直径， 直线l必过圆心，所以k＝1.
2 将y＝2x代入圆的方程得5x 2－6x＋1＝0，
2 过圆外一点作圆的切线肯定有两条，如果只
求到一条，要考虑是否把斜率不存在的情况漏掉了．
3 判断或利用直线与圆相切时，用d＝r比用
＝0更简便一些．
6．直线与圆相交时，半径r、弦心距d、弦长的
一半 l 的勾股关系r2＝d 2＋( l )2非常重要．
2
2
1．(2011·苏州调研卷)若过点A(－2,0)的圆C与 直线3x－4y＋7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的 半径长等于________． 答案：5 选题感悟：直线与圆相切是直线和圆位置关系 的重点，是高考的热点，求解直线与圆相切问 题的方法丰富多彩，其中恰当地运用平面几何 的知识，往往能起到事半功倍的效果．
令
2x x y
y70 40
,得
x y
3 ,
1
即直线l恒过定点M 3,1．
而(3－1)2＋(1－2)2＝5 25，所以点M 3,1在圆内．
所以不论m为何值，直线l与圆C必相交．
2当圆心C 1,2与点M 3,1的连线与直线l垂直时，
直线l被圆C截得的弦长最短．
因为直线MC的斜率为 2 1 1 , 13 2
因为点M的坐标为( 3，1)， 所以点M 到x轴的距离为1， 即 e M的半径为1，