银川一中2020届高三年级第四次月考理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10B ．9i --C ．9i -+D ．-103．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ．21 B ．1 C ．2 D ．34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2B ．3C ．6D ．95．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ）A ．若βαβα//,,⊂⊂n m ，则n m //B ．若βαα//,⊂m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//nD ．若βα⊂⊂n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演7．函数xex fxcos)112()(-+=（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是A B C D8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则2242cos271m-=︒-A．4B51C．2D519．已知yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥++22myyxyx，若目标函数yxz-=2的最大值为3，则实数m的值为A．-1 B．0 C．1 D．210．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A．193πB．8π C．9π D．203π11．已知函数)0(sin)42(cossin2)(22>--=ωωπωωxxxxf在区间]65,32[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是A．]53,0(B．]53,21[C．]43,21[D．)25,21[12．若,,x a b均为任意实数，且22(2)(3)1a b++-=，则22()(ln)x a x b-+-的最小值为A．32B．18C．321D．1962-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,135cos ,54cos ===a B A ， 则=b __________． 14．已知函数1)1ln()(2+++=x x x f ,若2)(=a f ,则=-)(a f __________．15．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则1220...a a a +++=_______． 16．已知四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为AB 的中点，将ADM ∆沿DM 折起，得到四棱锥DMBC A -1，设C A 1的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题：①DM A //1平面BN ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥DMC N -的体积最大值为322； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得C A DM 1⊥ 其中正确命题的序号为__________．三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分 17.（12分）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，0πϕ<<．()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ．（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （2）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值．18.（12分）已知数列}{n a 满足)1(2)1(,211+++==+n n S n nS a n n . （1）证明数列}{nS n是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式； （2）设n a a a a b n 2842+⋅⋅⋅+++=，求n b .xyOPRQ19．（12分）如图，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=o ，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -， 点M 是棱BC 的中点，62DM =． （1）求证：平面ODM ⊥平面ABC ； （2）求二面角M AD C --的余弦值．20．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．（1）求证：AM ∥平面SCD ；（2）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（3）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ， 求sin θ的最大值．21．（12分）已知函数)()1()(2R a x a xe x f x∈++= (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数|2|f x x k x k R =-++∈（）（），|2|g x x m m Z =+∈（）（）. （1）若关于x 的不等式1g x ≤（）的整数解有且仅有一个值4-，当2k =时，求不等式f x m ≤（）的解集； （2）若223h x x x =-+（），若120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，求实数k 的取值范围.银川一中2020届高三年级第四次月考（理科）参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDABBCACCABD二、填空题： 13．132014．0 15. -20 16. 三、解答题：17.（1）解：由题意得，2 6.3T ππ== ………2分因为),1(A P 在)3sin(ϕπ+=x A y 的图象上，所以1)3sin(=+ϕπ………4分又因为02πϕ<<，所以6πϕ=………6分（2）解：设点Q 的坐标为0(,)x A -，由题意可知03362x πππ+=，得04,(4,)x Q A =-所以 ………8分连接PQ ，在2,3PRQ PRQ π∆∠=中，由余弦定理得 22222221cos .2229RP RQ PQ PRQ RP RQ A A +-∠===-⋅⋅+ ………10分解得2 3.A =又0, 3.A A >=所以 ………12分18．解：（1）由()()1121n n nS n S n n +=+++得121n nS S n n+-=+， ……3分 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212nS n n n=+-=，即22n S n =， ………4分 当2n ≥时，()22122142n n n a S S n n n -=-=--=-，由于12a =也满足此式， 所以{}n a 的通项公式42n a n =-． ………6分（2）由42n a n =-得2242222n n n a +=⨯-=-， 所以 ………8分248n b a a a =+++…2n a +()()()345222222=-+-+-+…()222n ++-(345222=+++…)222n n ++-()33212222812n n n n +-=-=---． ……12分19.解：（1）证明：ABCD Q 是菱形，AD DC ∴=,OD AC ⊥ ………1分ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠=o , ∴6OD =又M 是BC 中点，16,622OM AB MD ∴=== 222,OD OM MD DO OM +=∴⊥Q ………3分 ,OM AC ⊂面,,ABC OM AC O OD =∴⊥I 面ABC ………5分又 Q OD ⊂平面ODM∴平面ODM ⊥平面ABC ………6分（2）由题意，,OD OC OB OC ⊥⊥, 又由（Ⅰ）知OB OD ⊥ 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M - ……7分故)0,36,6(),3,39,0(==AD AM 设平面MAD 的法向量),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 即9330630z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3y =-3,9x z == 所以，)9,3,3(-=m ………9分 由条件易证OB ⊥平面ACD ，故取其法向量为 )1,0,0(=n ………10分 所以，31933||||,cos =<n m ………11分由图知二面角M AD C --393………12分 20．解：（1）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--u u u u r u u u r u u u r， ………1分设平面SCD 的一个法向量为(),,x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n SD 2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得)1,1,2(-=，∴0=⋅，即⊥ ………3分 ∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ． ………4分 （2）取平面SAB 的一个法向量)0,0,1(=m ， ………5分 则||||,cos n m n m n m <616==⨯ ………7分 ∴平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为63． …………8分 （3）设(),22,0N x x -(12)x ≤≤，则)1,32,(--=x x ，平面SAB 的一个法向量为)0,0,1(=∴|,cos |sin ><=m MN θ222sin 5121011137101251055x x x x x x θ∴===-+⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分 当135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且()max 35sin 7θ=． …………12分 21.解（1）)2)(1()1(2)1()('a e x x a e x x f x x ++=+++= ………1分 （ⅰ）0≥a 时，当)1,(--∞∈x 时，0)('<x f ；当),1(+∞-∈x 时，0)('>x f 所以f(x)在)1,(--∞单调递减，在),1(+∞-单调递增； ……2分 （ⅱ）0<a 时 若ea 21-=，则))(1()('xx e e x x f --+=，所以f(x)在),(+∞-∞单调递增；……3分②若ea 21->，则1)2ln(-<-a ，故当),1())2ln(,(+∞---∞∈Y a x 时，0)('>x f ， )1),2(ln(--∈a x ，0)('<x f ；所以f(x)在),1()),2ln(,(+∞---∞a 单调递增，在 )1),2(ln(--a 单调递减； ………5分③若ea 21-<，则1)2ln(->-a ，故当)),2(ln()1,(+∞---∞∈a x Y ，0)('>x f ， ))2ln(,1(a x --∈，0)('<x f ；所以f(x)在)),2(ln(),1,(+∞---∞a 单调递增，在 ))2ln(,1(a --单调递减； ………6分（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在)1,(--∞单调递减，在),1(+∞-单调递增， 又01)1(<-=-ef ，0)0(>=a f ，取b 满足1-<b ，且2ln 2a b <-，则0)23()1()2(2)2(22>-=-+->-b b a b a b a b f ，所以f(x)有两个零点；………8分 （ⅱ）当a=0,则xxe x f =)(，所以f(x)只有一个零点 ………9分 （ⅲ）当a<0,①若ea 21-≥,则由（1）知，f(x)在),1(+∞-单调递增。