2021届宁夏银川一中高三第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【分析】先求出集合A ，然后再求两个集合的交集即可 【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】此题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 3．若平面上单位向量,a b →→满足3()2a b b →→→+⋅=，则向量,a b →→的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】B【分析】通过已知条件，利用向量的数量积，结合夹角公式求解即可． 【详解】解：由已知平面上单位向量a ，b 满足3()2a b b +=，可得232a b b +=，所以12a b =．可得1||||cos ,2a b a b <>=，设向量a ，b 的夹角为θ， 则1cos 2θ=， 故3πθ=．故选：B ．【点睛】本题考查向量夹角的求法，向量的数量积的应用，属于基础题.4．已知直线l 是平面α和平面β的交线,异面直线a ,b 分别在平面α和平面β内.命题p ：直线a ,b 中至多有一条与直线l 相交；命题q ：直线a ,b 中至少有一条与直线l 相交；命题s ：直线a ,b 都不与直线l 相交.则下列命题中是真命题的为（ ） A ．()p q ∨⌝ B ．()p s ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()q s ∧⌝【答案】D【分析】根据直线与平面的位置关系判断命题,,p q s 的真假性,再根据逻辑联结词的性质判断即可. 【详解】对命题p ,当,a b 均与l 相交,且不相交于同一点时也满足题意,故命题p 为假命题.对命题q ,当,a b 均不与l 相交时, //,//a l b l ,则有//a b ,不满足,a b 异面.故,a b 至少有一条与直线l 相交.故命题q 为真命题.对命题s ,当,a b 都不与直线l 相交,则有//,//a l b l ,则有//a b ,不满足,a b 异面.故s 为假命题. 故()q s ∧⌝为真命题 ，其余均为假命题. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面关系的判定以及逻辑联结词中的命题的真假判断.属于基础题.5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(0,1)A -，(,1)-B π，(,1)C π，(0,1)D ，正弦曲线()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A．12+ B ．12+ C ．1πD ．12π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，四边形ABCD 的面积为2S π=，阴影部分的面积为14(sin cos )S x x dx ππ=-⎰4(cos sin )|12x x ππ=--=+，所以该点落在阴影区域内的概率是1122S P S π+==，故选B ．【解析】几何概型及其概率的求解． 6．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫+>< ⎝=⎪⎭的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．6B 3C 2D ．2【答案】C【分析】由函数()f x 的部分图象得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入7,212π⎛-⎝求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取4x π=可得4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由图象可得函数()f x 的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，则22T πω==.又777212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7262k ππϕπ+=-，k Z ∈，则523k πϕπ=-，k Z ∈，22ππϕ-<<，则1k =，3πϕ=，则()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，42332f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 7．设2222tan121cos 48cos 12-sin 121-tan 12a b c -===，，，则有（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】A【分析】先利用三角恒等变换转化，然后利用特殊角的三角函数值比较判断. 【详解】因为22cos 12sin 12cos 24a =-=，22tan1233tan 24tan 30cos30cos 241-tan 12b a ==<=<=<=，sin 24sin 24tan 24cos 24c b ==<==， 所以c b a <<，故选：A8．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]1,4a ∈-均成立，则m 的取值不可能是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6【答案】D【分析】根据奇偶性定义和单调性的性质可得到()f x 的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为241m a a >-+，通过求解241a a -+的最大值，可知()2max 41m a a >-+，由此得到结果.【详解】()()11211221211212xxx x xxf x f x ------====-+++，()f x ∴是定义在R 上的奇函数， 又()212212121x x xf x +-==-++， 21x y =+为增函数，221x y ∴=+为减函数，()f x ∴为增函数. 由()()22120f a a m f a --+-<得：()()()221221f a a m f a f a --<--=-，2221a a m a ∴--<-，整理得：241m a a >-+，[]1,4a ∈-，()()()22max 4114116a a ∴-+=--⨯-+=，6m ∴>，m ∴的取值不可能是6.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.9．已知函数()()3sin f x x x x R =+∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【分析】由奇偶性定义可知()f x 为奇函数且()00f =，由此可得()1f x -关于()1,0对称；由()()20g x g x +-=可知()g x 关于()1,0对称且()10g =，由此可知()h x 关于()1,0对称且()10h =，由对称性可知除1x =外，()h x 其余零点关于()1,0对称，由此可求得结果. 【详解】()()3sin f x x x f x -=--=- ()f x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称且()00f =()1f x ∴-图象关于()1,0对称()()20g x g x +-= ()g x ∴图象关于()1,0对称令1x =得：()()110g g += ()10g ∴=()h x ∴图象关于()1,0对称且()()()1010h f g =-= ()h x ∴有一个零点为1x =，其余零点关于()1,0对称 ()h x ∴所有零点之和为202012021+=故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.10．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n 行晶格点数n b 满足125n n b b n +-=+，n *∈N ，则10b =（ ）A ．101B ．123C ．141D ．150【答案】C【分析】由已知125n n b b n +-=+，可得数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，由此可求出n b ，从而可得10b .【详解】解:因为()()2112n n n n b b b b +++---=，所以数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，2n ≥时，()()()()()()12132172316792362n n n n n b b b b b b b b n -++-=+-+-++-=+++++=+241n n =++，所以10141b =. 故选：C【点睛】此题考查了等差数列的判断，等差数列的前n 项和，累加法求通项等知识，属于基础题.11．已知函数()3244,0(),0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪=⎨≤⎪⎩，是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,3]C ．[2,3]D ．[3,)+∞【答案】C【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可. 【详解】由()32()44f x x a x a =+-+-，0x >， 可知()22()340f x x a '=+-≥在0x >时恒成立， 故240a -≥即2a ≥或2a ≤-，根据分段函数的性质可知，204014a a a a ⎧-≥⎪>⎨⎪-≥⎩，解可得，23a ≤≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数函数在单调性判断中的应用及分段函数的单调性的应用，属于中档题. 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF ，则下列结论中错误的个数是（ ）（1）AC BE ⊥.（2）若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22. （3）三棱锥A BEF -的体积为定值.（4）在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条.（5）过1CC 的中点与直线1AC 所成角为40︒并且与平面BEF 所成角为50︒的直线有2条.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由线面垂直的判定与性质可判断（1）；由线面垂直及点面距离可判断（2）；由（2）结合112BEF S EF BB =⋅△为定值可判断（3）；由直线11B C 除1C 外的点T 与直线AC 构成的平面均与直线1DD 相交，结合平面的性质可判断（4）；由线面角的定义先确定与平面BEF 所成角为50︒的直线PQ 与平面BEF 的交点，再由线线角即可判断（5）.【详解】对于（1），连接BD ，交AC 于G ，如图，在正方体中，BD AC ⊥，1D D AC ⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以AC BE ⊥，故（1）正确；对于（2），由（1）知，AC ⊥平面11BB D D ，所以AG 即为点A 到平面11BB D D 即平面BEF 的距离，易得22AG =， 又11//AA BB ，所以1//AA 平面11BB D D ， 所以P 到平面BEF 的距离为22，故（2）正确； 对于（3），由（2）知点A 到平面BEF 的距离为定值，且112BEF S EF BB =⋅△也为定值， 所以三棱锥A BEF -的体积为定值，故（3）正确；对于（4），直线11B C 上除1C 外的点T 与直线AC 构成的平面均与直线1DD 相交， 连接点T 及平面与直线1DD 交点的直线均与三条直线相交，所以在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条，故（4）正确； 对于（5），易得平面BEF 与平面11BB D D 为同一平面，取1CC 的中点P ，11B D 的中点H ，BD 的中点G ，连接PG ，HG ， 取HG 的中点O ，连接OP ，如图，则OP ⊥平面11BB D D ，1//PG AC ，22OP =， 以O 为圆心，以222tan 502tan 50=为半径在平面11BB D D 上作圆，点Q 在该圆上， 则PQ 与平面11BB D D 即平面BEF 所成角为50︒，由图可知，满足40QPG ∠=的直线PQ 只有两条，故（5）正确. 故选：A.【点睛】本题考查了空间位置关系的判断，考查了空间思维能力与转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则4a =______.【答案】27【分析】由等差性质得21343S S S =+，化简求出q ，进而求得4a 【详解】13S ，22S ，3S 成等差数列，21343S S S ∴=+即1212314()3a a a a a a +=+++，323a a ∴=，∴等比数列{}n a 的公比323a q a ==， 34127a a q =⋅=.故答案为：2714．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，3a =1c =，则角C =______【答案】6π【分析】根据题意，由正弦定理分析可得33sin sin cos sin cos sin B A C C A C A C ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，结合和角公式可得3sin cos sin cos sin cos sin sin 3A C A C A C A C +=+，变形可得tan 3A =即可得A 的值，结合正弦定理可得sin 1sin 2c A C a ⨯==，结合C 的范围分析可得答案． 【详解】根据题意，ABC ∆中，3cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则有33sin sin cos sin cos sin 33B A C C A C A C ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又由sin sin()sin cos sin cos B A C A C A C =+=+，则有3sin cos sin cos sin cos sin 3A C A C A C A C +=+， 变形可得tan 3A =()0,A π∈，则3A π=，即3sin 2A =， 又由3a =1c =，则sin 1sin 2c A C a ⨯==，又由a c >，则A C >，则6C π=；故答案为6π． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.15．已知矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为________.【答案】163π【分析】当平面ADE ⊥平面ABCE ，三棱锥D ABE -的高最大，此时其体积最大，GAE 为直角三角形，所以FA FG FE ==，EAB 为正三角形，其中心设为O ，再证明OA OG =，根据平面GAE ⊥平面ABE ，则易证.【详解】解：因为2AB =，3BC = ，E 是CD 边的中点， 所以1ED EC ==，2EA EB AB ===，EAB 为正三角形，其面积为定值，其中心设为O ，所以当平面ADE ⊥平面ABCE ，三棱锥D ABE -的高最大，此时其体积最大， 设此时D 点为G 点，即有平面GAE ⊥平面ABE ， 取EA 的中点F ，连结FB ，则FB AE ⊥， 又平面GAE平面ABE AE =，所以FB ⊥平面GAE ，FB FG ⊥所以222OG OF FG =+， 又222OA OF FA =+，90AGE ∠=︒，即GAE 为直角三角形，所以FA FG FE ==，所以3OA OB OE OG ======， 所以O 为三棱锥G ABE -的外接球球心， 该三棱锥外接球的表面积为24164433S R πππ==⨯=. 故答案为：163π【点睛】考查三棱锥外接球的表面积的求法，其关键在于确定球心的位置，即找一点到四个顶点的距离相等，通常先考虑直角三角形外心或等边三角形中心，同时要证明这一点到各个顶点的距离相等；本题属于中档题. 16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.【答案】()24,22e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称， 令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x的方程()()2240f x mf x m-+=有8个不同的实数解，则关于t的二次方程2240t mt m-+=有两个大于e的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m mm ee me m⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422eme<<-.综上所述，实数m的取值范围是()24,22ee⎛⎫⎪⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22ee⎛⎫⎪⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.三、解答题17．已如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA AD a==.（1）求证：//MN平面PAD（2）求证：MN⊥平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，可证//NE PD ，//EM DA ，从而面//NEM 面PDA ，即可证明//MN 平面PAD ；（2）先证明MN CD ⊥，由PM MC =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，可证MN PC ⊥，CD PC C =，从而得证．【详解】证明：（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，//NE PD ∴，//EM DA又NE ⊄面PDA ，PD ⊂面PDA ，所以//NE 面PDA 又ME ⊄面PDA ，AD ⊂面PDA ，所以//ME 面PDA 因为NEME E =，,NE ME ⊂面NEM∴面//NEM 面PDA ，因为MN ⊂面NEM//MN ∴平面PAD ；（2）底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，CD PA ∴⊥，CD AD ⊥，PA AD A =，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD 平面PAD ，PD ⊂平面PAD CD PD ∴⊥，//EN PDEN CD ∴⊥又CD EM ⊥，EM EN E =CD 平面ENMMN CD ∴⊥PM MC ===，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，MN PC ∴⊥，CD PC C =，,CD PC ⊂面PCD MN ∴⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 18．设正项等比数列{}4,81,n a a =且23,a a 的等差中项为()1232a a +． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）3nn a =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式． （2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可． 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得()34121111813a a q a q a q a a q ⎧==⎪⎨+=+⎪⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩， 所以113n nn a a q -==.（2）由（1）得213log 321n n b n -==-， ∴()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===，∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？ 【答案】（1）23+；（2）20074003.【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=， 3||cos 23AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||3RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+400sin θθ=++200(2sin )θθ=+)θϕ=++tan ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为（万元）． 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； （2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．20．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ＝2，13BAA π∠=，D 为AA 1的中点，点C 在平面ABB 1A 1内的射影在线段BD 上．（1）求证：B 1D ⊥平面CBD ；（2）若△CBD 是正三角形，求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25. 【分析】（1）设点C 在平面ABB 1A 1内的射影E ，证出CE ⊥B 1D ，然后借助解三角形得出BD ⊥B 1D ，从而得出结论；（2）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后求平面的法向量及法向量夹角的余弦值，然后得出结论． 【详解】（1）证明：设点C 在平面ABB 1A 1内的射影E ，则E ∈BD ，CE ⊂平面CBD ，CE ⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以CE ⊥B 1D ． 在△ABD 中，AB ＝AD ＝1，3BAD π∠=，则3ABD ADB π∠=∠=，在△A 1B 1D 中，A 1B 1＝A 1D ＝1，1123B A D π∠=，则11116A B D A DB π∠=∠=， 故1362B DB ππππ∠=--=，故BD ⊥B 1D ，因CE ∩BD ＝E ，故B 1D ⊥平面CBD ．（2）以D 为坐标原点，1DB ，DB 所在的直线分别为x ，y 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D (0，0，0)，B (0，1，0)，B 13,0,0)，由△CBD 是正三角形可知C (130,2)，∴C 1133,2-) ∴(0,1,0)DB =，130,2DC ⎛= ⎝⎭，1133,2DC ⎛=- ⎭，∴平面CBD 的一个法向量1(1,0,0)n =，设面C1BD 的法向量2(1,0,2)n =-，则2121330220n DC x y z n DB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =， 得2(1,0,2)n =- ∴125cos ,515n n <>==-⋅， 由图可知二面角C 1﹣BD ﹣C 的平面角为锐角， ∴二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值为5．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求二面角，属于中档题． 21．已知函数()21422f x x alnx x =---，其中a 为正实数． （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，求证：()()126f x f x lna +<-． 【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，然后求得；（2）先利用导数研究有两个极值点的条件，得到a 的取值范围，同时利用韦达定理得到两极值点的和与积的值，然后得到两极值的和关于a 的函数表达式，将要证不等式转化为关于实数a 的等式，构造函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在定理研究最值，从而证明原不等式. 【详解】解：()1因为()21422f x x alnx x =---， 所以()'4af x x x=--， 则()'132f a =-=，所以a 的值为1()()242'4a x x a f x x x x-+=--=-，函数()y f x =的定义域为()0+∞，， ①若1640a -≤，即4a ≥，则()'0f x ≤，此时()f x 的单调减区间为()0+∞，； ②若1640a ->，即04a <<，则()'0f x =的两根为2±此时()f x的单调减区间为(02，，()2++∞，单调增区间为(2 当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且124x x +=，12x x a =．因为()()221211122211424222f x f x x alnx x x alnx x +=---+--- ()()()221212121442x x aln x x x x =+--+- ()211642442alna a a alna =----=+-， 要证()()126f x f x lna +<-，只需证20alna a lna --+>构造函数()2g x xlnx x lnx =--+，则()11'11g x lnx lnx x x=+--=-， ()'g x 在()04，上单调递增，又()'110g =-<，()1'2202g ln =->，且()'g x 在定义域上不间断， 由零点存在定理，可知()'0g x =在()12，上唯一实根0x ， 且()g x 在()00x ，上递减，()04x ，上递增， 所以()g x 的最小值为()0g x ，因为()0000011123g x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭， 当()012x ∈，时，001522x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以()00g x >， 所以()()00g x g x ≥>恒成立．所以20alna a lna --+>，所以()()126f x f x lna +<-.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究极值问题和证明不等式问题，属中高档题，关键难点在于利用导数研究极值点，并将原不等式转化为关于实数a 的不等式，进而构造函数，利用导数进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是2y =，曲线C的参数方程是2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（φ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα是曲线C 上一点，24,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，求2211OA OB +的最大值. 【答案】（1）sin 2ρθ=；ρ=；（2）最大值为128+. 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】（1）直线l 的方程是2y =，转换为极坐标方程为sin 2ρθ=，曲线C的参数方程是2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），转换为直角坐标方程为22142x y +=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22142x y +=，得()()22cos sin 421ρθρθ=+ ∴22224=cos 2si 41sin n θθρθ+=+，故ρ=所以曲线C的极坐标方程为ρ=（2）点()1,A ρα是曲线C 上一点，所以：1ρ=，所以2113cos 28αρ-=， 点24,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，所以224sin πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2221cos 2211sin 242448sin παπααρ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪+⎝⎭===，22113cos 21sin 21sin 288284OA OB ααπα-+⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭， 当38πα=时，最大值为128+. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23．已知()12f x x x =++-.（1）求不等式()4f x x ≤+的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：111++2m a b b c c a ≥+++. 【答案】（1）[]1,5-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出3m =，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（1）21,(1)()123,(12)21,(2)x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，由214x x -+≤+，得1x >-，此时()4f x x ≤+无解；当12x -≤≤时，由34x ≤+，得1x ≥-，此时()4f x x ≤+的解为12x -≤≤；当2x >时，由214x x -≤+，解得5x ≤，此时()4f x x ≤+的解为25x <≤.综上，不等式()4f x x ≤+的解集为[]1,5-；证明：（2）∵()()12123x x x x ++-≥+--=，故()f x 的最小值为3m =，∴3a b c ++=.∵[]111()()()a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭，9≥=， 等号当且仅当a b b c c a +=+=+，即a b c ==时等号成立.∵3a b c ++=， ∴11169a b b c c a ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， ∴11132a b b c c a ++≥+++，即1112m a b b c c a ++≥+++. 【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.本题主要运用了综合法.。