逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
从而，f (x)的最佳平方逼近n次多项式为 p(x) a0 a1x ... an xn
例题：求f (x) ex在[0,2]的最佳 平方逼近一次多项式。
解：取一次多项式空间的基为1, x, 权函数w(x) 1
2
(1,1) 0 11dx 2,
2
(1, x) 0 1 xdx 2,
(x, x) 2 x xdx 8 ,
.....................
( f p, xn)
b
w(x)
a
f (x) (a0 a1x ... anxn ) xndx 0
这些方程称为法方程
a0
b
a w(x)11dx a1
b
a w(x)x 1dx ... an
b w(x)xn 1dx
a
b
a w(x) f (x)1dx
1 0
x2
sin(
x)dx
2
3
2
,
法方程组为
a12 0a0
1 2
a1
1 3
1 3
a1
a2
2
1 4
a2
1
1 3
a0
1 4
a1
1 5
a2
2 2 3
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
w(x) C[a,b]，w(x) 0，x [a,b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a,b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f (x) C[a,b],求次数不超过n的 多项式p(x)，使得
b w(x)( f (x) p(x))2 dx min a
2 1.8 1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
例题：求a,b,使得 2(a+bx-sinx)2dx达到最小。 0
解：实际上求sinx在区间[0,
2
]的最佳平方逼近
一次多项式。
取二次多项式空间的基为1, x, 权函数w(x) 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
例题：求f (x) sin( x)在[0,1]的最佳
平方逼近二次多项式。
解：取二次多项式空间的基为1, x, x2,权函数w(x) 1
(1,1)
1
11dx 1, (1, x)
1
1
xdx
1
0
0
2
(1, x2)
否则，就线性无关。
区间[a,b]上c11(x) .... cmm (x) 0成立
就一定有c1 ... cm 0
假定1(x),....m (x)是子空间S的基，
若函数g是最佳逼近元，则
( f g,1(x)) 0, ( f g,2(x)) 0 ....,( f g,m (x)) 0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
最佳平方逼近问题的一般提法
给定函数f (x) C[a,b], S C[a,b]是C[a,b] 中的有限维子空间，求g(x) S,使得
b w(x)( f (x) p(x))2 dx min a
首先要找子空间S的基1(x),....m (x)
1(x),....m (x)要满足两条：
（1）1(x),....m (x)在给定区间[a,b]线性无关：
（2）1(x),....m (x)的个数等于S的维数
函数在给定区间线性无关的定义
若存在不全为零的c1，....，cm，使得在区间[a,b]
c11(x) .... cmm (x) 0 称1(x),....m (x)线性相关，
(1,1)
2 11dx
0
2
, (1,
x)
2 1
0
xdx
2
8
(x, x)
2
0
x
xdx
3
24
(1,sin x) 2 1 sin xdx 1 0
(x,sin x) 2 x sin xdx 1, 0
法方程组为
2
a
2 8
b
1
2 8
a
3 24
b
1
a= 0.1148,b=0.6644, 这时，所求积分取最小值。
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx
容易验证满足内积定义的4条性质
由此导出的函数f (x)的范数：
|| f || ( f , f ) b w(x) f 2 (x)dx a
两个函数f (x)与g(x)的距离
dist( f , g) || f g || ( f g, f g)
这些方程称为法方程
(1,1) (2,1) L
(1
,
2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1) a1 ( f ,1)
(m
,2
)
a2
(
f
,2
)
L M M
(m,m )
am
( f ,m )
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a，.....，am，
从而得到f (x)在子空间S中的最佳平方
1
1
x
2dx
1
,
(
x,
x)
1 x xdx 1
0
3
0
3
(x, x2 ) 1 x x2dx 1 , (x2, x2 ) 1 x2 x2dx 1
0
4
0
5
(1,sin( x))
1
1sin( x)dx
2
0
(x,sin( x))
1
x sin(
x)dx
1
,
0
(x2,sin( x))
的Gram矩阵正定。
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。
可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。
我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
p(x)称为函数f(x)的最佳平方逼近 n次多项式
其中w(x)为权函数，默认值为 w(x)=1
考虑空间C[a,b], 是一个线性空间， 其维数是无限维的。
次数不超过n 的多项式构成 C[a,b] 的n+1维子空间。
可以利用有限维子空间上的逼近定 理来研究最佳平方逼近问题。
a11(x) ..... amm (x),则
( f (a11(x) ..... amm (x)),1(x)) 0
( f (a11(x) ..... amm (x)),2 (x)) 0 ..........
( f (a11(x) ..... amm (x)),m (x)) 0
( f p,1) 0, ( f p, x) 0,..., ( f p, xn ) 0
( f p,1)
b
w(x)
a
f (x) (a0 a1x ... anxn ) 1dx 0
( f p, x)
b
w( x)
a
f (x) (a0 a1x ... an xn ) xdx 0