运用基本原理进行MATLAB程序设计；
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多项式正交函数族：切比雪夫多项式、勒让德多项式 、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等
§ Legendre多项式与最佳平方逼近
Legendre polynomials: (x) 1, [a, b]=[-1,1], {1, x, …, xn,…}, 经Schmidt正交化 ， 即得Legendre多项式(Legendre, 1785年定义) 1814年，Rodrigul（罗德里克）提出一种简便形式：
n
把区间[-1,1], 通过变换把转化到[a,b]上处理.
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例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
解 法方程为
1 1 2
1 c 2 2 0 3 2 1 c 3 1 5
4 4 解得 c0 , c1 15 5
所求的最佳平方逼近元 素为 p( x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
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2 正交系在最佳平方逼近中的应用
b
(k , j ) k ( x) j ( x)dx,
a
( f , k )
q
a
f ( x)k ( x)dx,
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例1 定义内积 ( f , g ) 0 f ( x) g ( x)dx
试在H1=Span{1,x}中寻求对于f(x)= x 的最佳平方逼近元素p(x).
1
找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差在某种度量意义下达 到最小。
函数类 A通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作C[a,b] ；函数
类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段 多项式等容易计算的函数。
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最常用的度量标准有两种：
1、一致逼近（均匀逼近） 以
a x b
f ( x) p* ( x) min f ( x) p( x)
2 pPn
2
则称 p*(x) 是在Pn中对 f (x) 的最佳平方逼近函数.
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三、最佳平方逼近函数的求解
1、解法方程
p * ( x)

k 0
n
* ck k ( x )

(0 ,0 ) (0 ,1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 ( n ,0 ) ( n ,1 )
实验四
最佳平方逼近
1
实验内容： 最佳平方逼近多项式的求解： 解‘法方程组’； 规范正交函数组.
2
定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；P(x)
称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。
函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，需
要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （B∈‎ A）中，
先求g(t)在区间 [-1,1] 的一次最佳平方逼近多项式.
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(t)，就得 x 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多 项式:
4 4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
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四、程序实现
2 2 可知 q1 (t ) t , 1 t 1 3 5
把 t=2x-1 代入 q1(x)，就得 项式: 4 在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多
4 p1 ( x) x. 0 x 1 15 5
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例3 求 f(x)= x 在区间 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式. 解 令 x 1 (1 t ) 2 1 则 f ( x) 1 t g (t ), 1 x 1 2
* ( f , 0 ) (0 , n ) c0 * (1 , n ) c1 ( f ,1 ) * ( n , n ) cn ( f , n )
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具体步骤
遇到区间[a,b], ba x t. 2 2
把Legendre多项式规范化： wk
Lk Lk 2
求在区间[-1,1]上，f(t)的n次最佳平方逼近多项式：
pn *( x ) k 0 ( f , wk ) wk ( x ).
当 0x,1x, , nx, 是规范正交系时,求解最佳平方逼近 式非常容易.
最佳平方逼近多项式为：
* p *( x ) k 0 ck k ( x ). n
ck * ( f ,k ), k 0,1, 2,..., n
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如何求正交函数族？ 从一组线性无关函数族出发，用 Schmidt 正交化方法 将其规范正交化成一组规范正交函数族。
max f ( x ) p ( x )
作为度量误差f(x)- P(x) 的“大小” 标准。
2、平方逼近（均方逼近） 以 (
f ( x) p( x) dx)
b a
2
1 2
作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。
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函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近的概念与解法
一、最佳逼近的意义 设{0x,1x, , nx} C[a, b], 它们线性无关. 又给定 f (x)C[a, b], 求 p*(x) Pn Span{0x,1x, , nx}, 使得 f (x) p*(x) 在某种意义下最小. 二、最佳平方逼近的概念 定义 对于给定的 f (x)C[a, b],若有 p*(x)Pn ,使得