几何动态探究题类型一动点探究题1.如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=3，R在CD边上，且CR=1，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为.第1题图10【解析】如解图，连接AR，∵在矩形ABCD中，BC=6，AB=3，CR=1，∴AD=6，DR=2，在Rt△ADR中，AR=22DRAD =210，∵E，F分别是AP，RP1AR=10.的中点，∴EF=2第1题解图2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＋BD＝40，AB＝12，点E 是BC边上一点，直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE＝210，则DF＝________．第2题图18或30 【解析】分两种情况：如解图①，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴G 是BC 的中点．当点F 在DC 的延长线上时，延长FO 交A D 于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，AC ＋BD ＝40，∴AC ＝BD ＝20.又∵AB ＝12，∴在Rt △ABC 中，BC ＝AD ＝22AB AC -＝16，∴OG ＝12AB ＝6，CG ＝12BC ＝8.∴在Rt △OEG 中，EG ＝22OG OE -＝2，∴CE ＝CG －EG ＝6.又∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠DAO＝∠BCO ，又∵∠AOH ＝∠COE ，∴△AOH ≌△COE (ASA)，∴AH ＝CE ＝6，∴DH ＝AD －AH ＝10，∵CE ∥DH ，∴ DH CE ＝DF CF ，即106＝CFCF +12，解得CF ＝18，∴DF ＝30；如解图②，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，当点F 在CD 的延长线上时，EF 与AD 交于点H ，同理可得DH ＝BE ＝6，由CE ∥DH ，得DH CE ＝DF CF ，即610＝DFDF +12，解得DF ＝18.图①图②第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，F在AD边上，M，N分别是CD，BC边上的动点，若AB=AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是 .第3题图5+5【解析】如解图，延长EB至点G，使BE=BG，延长FD到点H，使DH=DF，连接GN，MH，GH．∴BC垂直平分EG，CD垂直平分FH，∴EN=GN，MF=MH，∵E是AB边的中点，F在AD边上，AB=AF=2，AD=3，∴EF长不变，AE=EB=BG=1，DF=DH=1，即AG=3，AH=4，∵M，N分别是CD，BC边上的动点，∴当点G、N、M、H在同一直线上时，GN+MN+MH=GH最短，即EN+MN+MF最短，此时Rt△AGH中，GH=22AHAG+=5，∴EN+MN+MF=5，又∵Rt△AEF中，EF=22AFAE+=5，∴EN+MN+MF+EF的最小值为5+5，∴四边形EFMN周长的最小值是5+5.第3题解图4.如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO =BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°，则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 .第4题图2，23或27 【解析】由于点P 在射线CO 上运动，∴当△P AB 为直角三角形时，有三种情况：（1）当∠APB =90°时，①如解图①，当点P 在CO 上时，∵AB =BC =4，AO =BO ，∴AO =2，∴PO =AO =2，∵∠AOC =60°，∴△APO 是等边三角形，∴AP =AO =2；②如解图②所示，当点P 在CO 的延长线上时，∵AB =BC =4，AO =BO ，∠AOC =60°，∴OP =OA =OB =2，∵∠POB =∠AOC =60°，∴△POB 是等边三角形，即PB =OB =2，∴AP =22PB AB -=2224-=23；（2）当∠ABP =90°时，如解图③所示，∵AB =BC =4，AO =BO ，∴AO =BO =2，又∵∠BOP =∠AOC =60°，∠ABP =90°，∴BP =OB ·tan60°=23，在Rt △APB 中，AP =22PB AB +=()22324+=27.综上所述，AP 的长度为2或23或27.第4题解图类型二操作探究题5.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为_____．第5题图30°或60°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝12∠ABC，∠BAC＝12∠BAD，AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.第5题解图6.如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG ，B ′D ′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．第6题图15 【解析】设BE ＝a ，则BC ＝3a ，由题意可得，CB ＝CB ′，CD ＝CD ′，BE ＝B′E ＝a ，∵B ′D ′＝2，∴CD ′＝3a －2，∴CD ＝3a －2，∴AE ＝3a －2－a ＝2a －2，∴DB ′＝22'CD CB -＝()()22233--a a =412-a ＝213-a ，在Rt △AB ′E 与Rt △DCB ′中，∵∠AB ′E ＋∠DB ′C ＝90°，∠DCB ′＋∠DB′C ＝90°，∴∠AB ′E ＝∠DCB′，又∵∠A ＝∠D ＝90°∴△AB′E ∽△DCB′，∴'''CB E B DB AE =，即aa a a 313222=--，解得a 1＝23或a 2＝53.当a ＝23时，BC ＝2，∵B ′D ′＝2，CB ＝CB ′，∴a ＝23不符合题意，舍去；当a ＝53时，BC ＝5，AB ＝CD ＝3a －2＝3，∴矩形纸片ABCD 的面积为5×3＝15.7. 如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是边CD 上一动点，将四边形APQD 沿直线PQ 折叠，点A 的对应点为A ′，CA ′的长度最小时，CQ 的长为________．第7题图7【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H，∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH＝32AB＝43，AH＝BH＝4，∵PB＝3，∴HP＝1，在Rt△CHP中，CP＝（43）2＋12＝7，∵四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ＝∠CPQ，∵CD∥AB，∴∠APQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP＝7.第7题解图8.小明将一块长方形木板如图①所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图②所示的“L”形状，且成轴对称图形．切割过程中木材的消耗忽略不计，若已知AB=9，BC=16，FG⊥AD，则CEEG的值为．第8题图34【解析】如解图①，延长FG交BC于H，设CE=x，则E'H'=CE=x，由轴对称的性质得：D'E'=DC=E'F'=9，∴H'F'=AF=9+x，∵AD=BC=16，∴DF=16-（9+x）=7-x，即C'D'=DF=7-x=F'G'，∴FG=7-x，∴GH=9-（7-x）=2+x，EH=16-x-（9+x）=7-2x ，∴EH ∥AB ，∴△EGH ∽△EAB ，∴BE EH AB GH =，∴xx x --=+162792，解得x =1或31（舍），∴GH =3，EH =5，∴EG =2253+=34，∴CE EG =34.图① 图②第8题解图9.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1．若∠ACB =30°，AB =1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分面积为S ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△BC 1C ；②当x =1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x =2时，△BDD 1为等边三角形；④S =43（x -2）2（0≤x ≤2）．其中正确的是 （将所有正确答案的序号都填写在横线上）第9题图① ②③ 【解析】①∵四边形ABCD 为矩形，∴BC =AD ，BC ∥AD ，∴∠DAC =∠ACB ，∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，∴∠A 1=∠DAC ，A 1D 1=AD ，AA 1=CC 1，在△A 1AD 1与△CC 1B 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB D A ACB A CC AA 11111,故①正确；②∵∠ACB =30°，∴∠CAB =60°，∵AB =1，∴AC =2，∵x =1，∴AC 1=1，∴△AC 1B 是等边三角形，∴AB =D 1C 1，又AB ∥D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确；③如解图，则可得BD =DD 1=BD 1=2，∴△BDD 1为等边三角形，故③正确．④易得△AC 1F ∽△ACD ，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x S S ACD FAC △△，解得：S △AC1F =83(x −2)2（0＜x ＜2）；故④错误；综上可得正确的是①②③．第9题解图10.如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB =3+1，AD =3．如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为 ；如图③，将图②中的△AED ′绕点E 顺时针旋转α角，得△A ′ED ′′，使得EA ′恰好经过顶点B ，则弧D ′D ′′的长为 ．（结果保留π）图① 图② 图③ 第10题图6，1235π 【解析】∵△ADE 翻折后与△AD ′E 重合，∴AD ′=AD =D ′E =DE =3，∴AE =()()2233+=6；∵∠C =90°，BC =3，EC =1，∴tan ∠BEC =CE BC =3，∴∠BEC =60°，由翻折的性质可知：∠DEA =45°，∴∠AEA ′=75°，由旋转的性质可知，∠D ′ED ′′=∠AEA ′，∴弧D ′D ′′的长为180375⋅π=1235π.。